Chủ đề này có 1 trả lời

[leminhnghiatt]

Bài 37: Cho $a,b,c>0; a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{9}$. CMR:

 

$(2a+2b-c)^3+(2b+2c-a)^3+(2c+2a-b)^3 \geq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

[tpdtthltvp]

Bài 37: Cho $a,b,c>0; a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{9}$. CMR:

 

$(2a+2b-c)^3+(2b+2c-a)^3+(2c+2a-b)^3 \geq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Đổi biến: $$(2a+2b-c,2b+2c-a,2c+2a-b)\rightarrow (x,y,z)$$

Giả thiết đã cho được viết lại thành:

$$\sum (\frac{2x+2y-z}{9})^2=\frac{1}{9}$$

$$\Leftrightarrow \sum (2x+2y-z)^2=9$$

Khai triển ra ta được:

$$9(x^2+y^2+z^2)=9\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=1$$

Và BĐT cần chứng minh được viết lại thành:

$$\sum x^3\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Thật vậy, áp dụng BĐT $Cauchy$ , ta có:

$$x^3+x^3+\frac{\sqrt{3}}{9}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}x^6}{9}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{3\sqrt{3}}}x^2$$

Chứng minh tương tự và cộng lại suy ra:

$$2(x^3+y^3+z^3)+\frac{1}{\sqrt{3}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{3\sqrt{3}}}(x^2+y^2+z^2)=3\sqrt[3]{\frac{1}{3\sqrt{3}}}$$

$$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\geq \frac{1}{\sqrt{3}}(\text{đpcm})$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 16-05-2016 - 14:09