Chủ đề này có 1 trả lời

[Phuong Thu Quoc]

Cho hình vuông $ABCD$ tâm $I$. Một đường thẳng qua $A$ cắt đường thẳng $BC,CD$ tại $M, N$. $IM$ cắt $BN$ tại $K$

Chứng minh $CK, BN$ vuông góc với nhau

[vkhoa]

Cho hình vuông $ABCD$ tâm $I$. Một đường thẳng qua $A$ cắt đường thẳng $BC,CD$ tại $M, N$. $IM$ cắt $BN$ tại $K$

Chứng minh $CK, BN$ vuông góc với nhau

MI cắt AB, CD lần lượt tại E, F
hạ CK' vuông góc BN tại K'
ta có $\triangle BK'C\sim\triangle CK'N$(g, g)
$\Rightarrow\frac{K'B}{K'C} =\frac{K'C}{K'N} =\frac{BC}{CN}$
$\Rightarrow\frac{K'B}{K'N} =\frac{K'B}{K'C} .\frac{K'C}{K'N} =\frac{BC^2}{CN^2}$
mà K' nằm giữa B và N
$\Rightarrow\frac{\overline{K'B}}{\overline{K'N}} =-\frac{BC^2}{CN^2}$ (1)
có $\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}} =\frac{\overline{BA}}{\overline{CN}}$ (2)
có $\frac{\overline{FN}}{\overline{FC}} =-\frac{\overline{FN}}{\overline{EA}} =-\frac{\overline{CF}}{\overline{BE}}$
$=-\frac{\overline{FN} +\overline{CF}}{\overline{EA} +\overline{BE}} =-\frac{\overline{CN}}{\overline{BA}}$ (3)
từ (1, 2, 3)$\Rightarrow\frac{\overline{K'B}}{\overline{K'N}} .\frac{\overline{FN}}{\overline{FC}} .\frac{\overline{MC}}{\overline{MB}}$
$=(-\frac{BC^2}{CN^2}) .(-\frac{\overline{CN}}{\overline{BA}}) .\frac{\overline{CN}}{\overline{BA}}$
$=\frac{BC^2}{CN^2} .\frac{CN^2}{BA^2} =1$
theo Menelaus $\Rightarrow $ M, K', F thẳng hàng
$\Rightarrow K\equiv K'$
$\Rightarrow$ đpcm

Hình gửi kèm

•