Chủ đề này có 1 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán : Cho các số thực $x \in \left [ 0;1 \right ];y \in \left [ 0;2 \right ] ;z \in \left [ 0;3 \right ].$.Tìm Max :

$$P=\frac{2xz+xy+yz}{1+3x+4y+z}+\frac{4-z}{y+z+z(x+y)+11}+\frac{z}{\sqrt{27x^2+48y^2+3z^2}+11}$$

[caybutbixanh]

Bài toán : Cho các số thực $x \in \left [ 0;1 \right ];y \in \left [ 0;2 \right ] ;z \in \left [ 0;3 \right ].$.Tìm Max :

$$P=\frac{2xz+xy+yz}{1+3x+4y+z}+\frac{4-z}{y+z+z(x+y)+11}+\frac{z}{\sqrt{27x^2+48y^2+3z^2}+11}$$

 

Lời giải:

Ta có : $\sqrt{3(9x^2+16y^2+z^2)} \geq (3x+4y+z ) $ ( do $3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$ )

$\Leftrightarrow \frac{z}{\sqrt{27x^2+48y^2+3z^2}+11} \leq \frac{z}{3x+4y+z+11}$

Mặt khác ta sẽ chứng minh ( để dồn biến ) $y+z+z(x+y) \leq 3x+4y+z \Leftrightarrow (z-3)(x+y) \leq 0$ (Đúng)

Do đó :$P \leq \frac{2xz+xy+yz}{1+y+z+z(x+y)}+\frac{4}{y+z+z(x+y)+11}$

 

Mà $2xz+xy+yz=x(y+z)+z(x+y)\leq y+z+z(x+y) \Leftrightarrow (1-x)(y+z) \geq 0 (true).$

Vì vậy $P \leq \frac{y+z+z(x+y)}{1+y+z+z(x+y)}+\frac{4}{y+z+z(x+y)+11}=\frac{t}{t+1}+\frac{4}{t+11}=f(t)$

Với $t=y+z+z(x+y),t \in \left [ 0;14 \right]$

 

Khảo sát hàm số trên ta được $f(t) \leq \frac{11}{10}$ khi

$t=2 \Leftrightarrow \begin {cases} y+z+z(x+y)=9 \\x=1\\z=3   \end{cases} $ tức $\begin{cases} x=1 \\ y=\frac{3}{4} \\ z=3 \end{cases}$

Vậy $GTLN P=\frac{11}{10}$

-------------------------------------

Spoiler

Đây là bài viết thứ 800 của mình