Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $BE,CF$ là $2$ đường cao. Tiếp tuyến tại $B,C$ cắt nhau tại $T$. $TC,TB$ lần lượt cắt $EF$ tại $P,Q$. $M$ là trung điểm $BC$.
a) Chứng minh $M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $TPQ$.
b) Gọi $AD$ là đường kính $(O)$. $DM$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $D$. Chứng minh các tứ giác $RQBM,RPCM,RQTP$ là các tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $TPQ$ tiếp xúc đường tròn $(O)$.
Chứng minh của mình có phụ thuộc hình vẽ.
$a)$ Ta có các tam giác $PBF$ và $QEC$ cân kết hợp với $MF=ME=MB=MC$ suy ra $QM$, $QN$ là các phân giác $\angle BPF$ và $\angle EQC$
suy ra $M$ là tâm đường tròn nội tiếp $\bigtriangleup TPQ$.
$b)$ Ta có $\angle BPM= \dfrac{\angle BPF}{2}$ mà $\angle BPF= 180^0-\angle PFB- \angle PBF= 180^0- 2\angle C$
suy ra $\angle BPM= 90^0- \angle C= \angle BRD$
nên $RPBM$ nội tiếp, tương tự $RQCM$ nội tiếp.
$\angle PRQ= \angle PRM + \angle MRQ= \angle CBT+\angle BCT= 180^0- \angle PTQ$
nên suy ra $PRQT$ nội tiếp.
$c)$
Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$
Dễ thấy $MP \parallel CH, MQ \parallel BH$
Gọi $\bigtriangleup$ là tiếp tuyến tại $R$ của $(O)$
Gọi $X$ là giao điểm của $PR$ với $(O)$.
Ta có $\angle \bigtriangleup RX =\angle \bigtriangleup RB-\angle XRB$ $ = \angle RCB- \angle HCB$
Mà $ \angle \bigtriangleup RX = \angle RCB- \angle XCB$
suy ra $\angle XCB =\angle HCB $
suy ra $X, H, C$ thẳng hàng và $ \angle \bigtriangleup RX =\angle FCR$
Chú ý tứ giác $RFCQ$ nội tiếp nên $ \angle FCR= \angle FQR=\angle PTR$
Từ đây suy ra $ \angle \bigtriangleup RX =\angle PTR $
Điều này chứng tỏ $\bigtriangleup$ cũng là tiếp tuyến tại $R$ của $\bigtriangleup TPQ$
suy ra $(TPQ)$ tiếp xúc $(O)$ tại $R$.
