Chủ đề này có 375 trả lời

[nguyenduy287]

Bài 19:( chưa có ai giải )

$\left\{\begin{matrix}2x-2y+\sqrt{x+y+3xy+1}=1 \\ \sqrt[3]{3y+1}=8x^2-2y-1 \end{matrix}\right.$   với x$> 0$

Bài 59:$2\sqrt[4]{27x^2+24x+\frac{28}{3}}=1+\sqrt{\frac{27x}{2}+6}$

Bài 60:$\sqrt{1-x^2}=(\frac{2}{3}-\sqrt{x})^2$ ( khá thú vị )

[Baoriven]

Lời giải bài 60: 

Đặt: $u=\sqrt{x},v=\frac{2}{3}-\sqrt{x}$

Ta có hệ đối xứng như sau: $u+v=\frac{2}{3}$

                                            $u^4+v^4=1$

Giải ra được $u=\frac{1}{6}(2+\sqrt{2(\sqrt{194}-6)})$

Suy ra được $x=u^2=\frac{1}{36}(2+\sqrt{2(\sqrt{194}-6)})^2$

[QQspeed22]

Bài 61:

$x^{\frac{1}{x}} = (x+1)^{\frac{1}{x+1}}$

Bài 62:

$x^{2016} + \frac{1}{x} - \sqrt[2018]{x + 1} = 0 (x \in \mathbb{Q})$

Bài 63:

$\left (1 + \frac{2x}{1 - x^2} \right )\left ( 1 + \frac{x^5 - 10x^3 + 5x}{5x^4 - 10x^2 + 1} \right ) = 2$

[An Infinitesimal]

Bài 19:( chưa có ai giải )

$\left\{\begin{matrix}2x-2y+\sqrt{x+y+3xy+1}=1 \\ \sqrt[3]{3y+1}=8x^2-2y-1 \end{matrix}\right.$   với $x> 0$

 

 

Khi thử tìm lời giải mình không để ý đến điều kiện $x> 0$. Do đó mình giải bài này với giả định không có điều kiện trên.

 

Phương trình thứ nhất được viết lại:

\[4x^2-(11y+5)x+4y^2+3y=0, (1)\]

với điều kiện $1+2y-2x\ge 0.$

 

 

Đặt $g_y(x)= 4x^2-(11y+5)x+4y^2+3y.$

Phương trình thứ hai  được viết lại

\[8x^2=\sqrt[3]{3y+1}+2y+1.\]

Đặt $f(y)=\sqrt[3]{3y+1}+2y+1$.

Nhận xét: $f$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $f(-\frac{3}{8})=-\frac{1}{4}<0.$

Do đó $y> -\frac{3}{8}.$

(Con số $-\frac{3}{8}$ khi xét $g_y(1/2)$ với $-1/2$ xuất hiện khi xét $y<0$.)

 

Trường hợp 1: $-\frac{3}{8}<y\le 0$.

Từ phương trình (2), suy ra $x^2 \le \frac{1}{4}. (3)$

 

Ta có $g_y(1/2)=\frac{(8y + 3)(y - 1)}{2}<0$ và tam thức bậc hai $g_y$ có hệ số cao nhất dương. Do đó

$g_y$ có một nghiệm lớn hơn $\frac{1}{2}$. Điều này mâu thuẫn với (3).

 

 

Trường hợp 2: $y>0$.

Từ phương trình (2), suy ra $x^2 >\frac{1}{4}. (4)$

Khi đó nếu $g_y$ có nghiệm thì $g_y$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ (với $x_1\le x_2$).

Áp dụng Viet ứng với điều kiện $y$ kết hợp (4), ta suy ra 

\[\frac{1}{2}< x_1 \le x_2. (5)\]

Và 

\[8x_2\ge 4(x_1+x_2)= 11y+5. (6)\]

Từ phương trình (2), dùng BĐT Cauchy cho 3 số để khử $\sqrt[3]{...}$, ta thu được $y\ge \frac{8x^2-2}{3}.$

 

Từ (6), suy ra $88x_2^2-24x_2-7<0.$ Điều này không đúng khi xét $x_2>\frac{1}{2}.$

Từ đó suy ra hệ phương trình vô nghiệm.

 

p/s: Mọi người kiểm tra xem có lỗi nào phát sinh không.

 

 

-------------------

Lỗi phát sinh 1: Có thể  $(x_2,y)$ không là nghiệm của (2). Chưa khắc phục.

Bằng cách tính toán cụ thể, ta chỉ ra rằng $(x_2,y)$ không thể là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hệ tồn tại nghiệm thì bộ $(x_1,y)$ là nghiệm của hệ.

 

 

Vì $x_2\ge x_1 > \frac{1}{2}$ nên $g(1/2)>0$. Do đó $y >1.$

 

Kết hợp $g_y(y)<0$ nên \[\frac{1}{2}<x_1<\sqrt{\frac{3y+2}{8}}<y<x_2.\]

 

 

 

Do đó phương trình thứ hai được viết lại theo phương trình một ẩn $y$:

\[89y^2+86y+25-(11y+5)\sqrt{57y^2+62y+25}= 4\sqrt[3]{3y+1}+8y+4.\]

Hay

\[89y^2+78y+21-(11y+5)\sqrt{57y^2+62y+25}= 4\sqrt[3]{3y+1}.\]

Dùng đánh giá $\sqrt{57y^2+62y+25} \ge \frac{22}{3}y+\frac{14}{3}$ và $\sqrt[3]{3y+1}>0$, ta thu được $y\ge \frac{7}{5}.$

 

(Dùng đánh giá $\sqrt[3]{3y+1}>1$ sẽ gây khó khăn khi đưa ra khoảng chứa $ y $.)

 

Dùng đánh giá $\sqrt[3]{3y+1} \le \frac{1}{4}y+ 17/12 \forall y\ge \frac{7}{5},$ ta có

\[9216y^4 - 594y^3 - 18165y^2 - 12828y - 2489<0.\]

Suy ra 

$y \le  \frac{7}{4}.$

 

(Khảo sát hàm số ta có hàm số VT đồng biến trên $(\frac{7}{5},\infty)$.)

 

Vấn đề còn lại chưa hoàn tất: xét sự tồn tại nghiệm (và giải (nếu tồn tại nghiệm)) của phương trình 

$89y^2+78y+21-(11y+5)\sqrt{57y^2+62y+25}= 4\sqrt[3]{3y+1}$

trên $\left(\frac{7}{5},\, \frac{7}{4} \right).$

 

Xét $f(y)= 89y^2+78y+21-(11y+5)\sqrt{57y^2+62y+25}- 4\sqrt[3]{3y+1}$ trên $ [7/5, 7/4] $.

 

Ta có 

\[f'(y)= 178y+78-\frac{4}{\sqrt[3]{(3y+1)^2}}-\frac{1254y^2+1308y+430}{\sqrt{57y^2+62y+25}}.\]

 

Ta thử kiểm tra xem $f'(y)>0$ trên $[7/5, 7/4]$. Ta có

\[f'(y)\ge 178y+78-\frac{4}{3}-\frac{1254y^2+1308y+430}{\sqrt{57y^2+62y+25}}.\]

Ta hi vọng vế phải ở trên không âm, nghĩa là ta cần chứng minh 

\[h(y):=2101248y^4 + 2156976y^3 + 270144y^2 - 703120y - 341600 \ge 0.\]

Điều này đúng do $h'(y)>0$ với mọi $y \in [7/5,7/4],\, h'(7/5)>0,\, h(7/5)>0.$

 

Từ đó suy ra \[f(y)\ge f(7/5)>0 \forall y \in [7/5,7/4].\] 

 

Do đó phương trình (theo $ y $) vô nghiệm. Suy ra hệ phương trình ban đầu vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 19-06-2016 - 11:23

[nguyenduy287]

Bài 61:

$x^{\frac{1}{x}} = (x+1)^{\frac{1}{x+1}}$

Bài 62:

$x^{2016} + \frac{1}{x} - \sqrt[2018]{x + 1} = 0 (x \in \mathbb{Q})$

Bài 63:

$\left (1 + \frac{2x}{1 - x^2} \right )\left ( 1 + \frac{x^5 - 10x^3 + 5x}{5x^4 - 10x^2 + 1} \right ) = 2$

Mình xin đăng bài giải bài 63:

đặt x=tana ( a khác $k\Pi$ )

pt viết lại $(1+\frac{2tana}{1-tan^2a})(1+\frac{tan^5a-10tan^3a+5tana}{5tan^4a-10tan^2a+1})=2$

ta cm được các công thức tan2a tan5a nên pt đã cho viết lại 

$(1+tan2a)(1+tan5a)=2<=>1+tan2a+tan5a+tan(2a)tan5a=2<=>tan2a+tan5a+tan(2a)tan5a=1<=>tan(2a+5a)(1-tan(2a)tan5a)+tan(2a)tan5a-1=0<=>(tan7a-1)(1-tan(2a)tan5a)=0$

tới đây thì dễ rồi  $\begin{bmatrix}tan7a=1 \\ tan(2a)tan5a=1 \end{bmatrix}$

suy ra các nghiệm của pt S=tan..........

[An Infinitesimal]

Mình xin đăng bài giải bài 63:

đặt x=tana ( a khác $k\Pi$ )

pt viết lại $(1+\frac{2tana}{1-tan^2a})(1+\frac{tan^5a-10tan^3a+5tana}{5tan^4a-10tan^2a+1})=2$

ta cm được các công thức tan2a tan5a nên pt đã cho viết lại 

$(1+tan2a)(1+tan5a)=2<=>1+tan2a+tan5a+tan(2a)tan5a=2<=>tan2a+tan5a+tan(2a)tan5a=1<=>tan(2a+5a)(1-tan(2a)tan5a)+tan(2a)tan5a-1=0<=>(tan7a-1)(1-tan(2a)tan5a)=0$

tới đây thì dễ rồi  $\begin{bmatrix}tan7a=1 \\ tan(2a)tan5a=1 \end{bmatrix}$

suy ra các nghiệm của pt S=tan..........

 

Em edit tan thành 

$\tan{(...)}$

Em edit tan thành $\tan{(...)}$ : công thứ nhìn thấy đẹp hơn!

[An Infinitesimal]

Bài 62:

$x^{2016} + \frac{1}{x} - \sqrt[2018]{x + 1} = 0 (x \in \mathbb{Q})$

 

Giải bài 62:

 

"Hữu tỉ hóa" phương trình, ta có

$(x^{2017} +1)^{2008}-x^{2008}(x+1)=0.$

 

Phương trình đa thức có hệ số nguyên này có hệ số tự do là 1 và hệ số cao nhất là 1. Do đó nghiệm hữu tỉ phải là nghiệm nguyên và là ước của $1$.

Kiểm tra $x=\pm 1$. Suy ra $x=-1$ là nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 19-06-2016 - 17:45

[An Infinitesimal]

Lần đầu tiên sử dụng "quyền" chọn bài.

 

Bài 64:Giải phương trình sau

 

$\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2x^{2}-x-3.$

(Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh năm học 2015-2016, http://diendantoanho...ngãi-2015-2016/)

[Hai2003]

Lần đầu tiên sử dụng "quyền" chọn bài.

 

Bài 64:Giải phương trình sau

 

$\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2x^{2}-x-3.$

(Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh năm học 2015-2016, http://diendantoanho...ngãi-2015-2016/)

Đúng không nhỉ: Điều kiện: $x\geq \frac{2}{3}$

PT đã cho tương đương với $$\frac{(3x-2)-(x+1)}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}}=\left ( x+1 \right )\left ( 2x-3 \right )\\ \Leftrightarrow \frac{2x-3}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}}-\left ( x+1 \right )\left ( 2x-3 \right )=0\\ \Leftrightarrow \left ( 2x-3 \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}}-x-1 \right )=0$$

Ta chứng minh được với $x\geq \frac{2}{3}$ thì $\frac{1}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}}-x-1<0$.

Vậy $x=\frac{3}{2}$

[Baoriven]

Bài 65: Giải phương trình:

$x^2-3x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^4+x^2+1}$

Bài 66: Giải hệ phương trình:

$16x^2+y^4=8xy^3+1$

$1+4xy=8x^2+y^2$

P/S: Các bạn giải xong đăng tiếp bài mới cho mọi người cùng làm nhá

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 21-06-2016 - 15:47

[nguyenduy287]

Bài 65: Giải phương trình:

$x^2-3x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^4+x^2+1}$

Bài 66: Giải hệ phương trình:

$16x^2+y^4=8xy^3+1$

$1+4xy=8x^2+y^2$

Bài 65 có vẻ dễ nên mình đăng trước  

pt viết lại $x^2-3x+1=\frac{-\sqrt{3}}{3}\sqrt{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}$

Do đó mình đặt $\sqrt{x^2-x+1}=a,b=\sqrt{x^2+x+1}(a,b\geq 0)$

DO đó pt đã cho có dạng $2a^2-b^2=\frac{-\sqrt{3}}{3}ab<=>2a^2+\frac{\sqrt{3}}{3}ab-b^2=0<=>\begin{bmatrix}a=\frac{\sqrt{3}}{3}b \\ a=\frac{-\sqrt{3}}{2}b \end{bmatrix}$

$<=>\begin{bmatrix}2x^2-4x+2=0 \\ x\epsilon \phi \end{bmatrix}$

Vậy x=1

[QQspeed22]

Giải bài 62:

 

"Hữu tỉ hóa" phương trình, ta có

$(x^{2017} +1)^{2008}-x^{2008}(x+1)=0.$

 

Phương trình đa thức có hệ số nguyên này có hệ số tự do là 1 và hệ số cao nhất là 1. Do đó nghiệm hữu tỉ phải là nghiệm nguyên và là ước của $1$.

Kiểm tra $x=\pm 1$. Suy ra $x=-1$ là nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu.

Lí do tại sao

Phương trình đa thức có hệ số nguyên này có hệ số tự do là 1 và hệ số cao nhất là 1. Do đó nghiệm hữu tỉ phải là nghiệm nguyên và là ước của $1$.

Kiểm tra $x=\pm 1$. Suy ra $x=-1$ là nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu.

[QQspeed22]

Bài 66: Giải hệ phương trình:

$16x^2+y^4=8xy^3+1$

$1+4xy=8x^2+y^2$

Xét y = 0 => .....

Xét $y \neq 0$ ta đặt $x = ty$, ta có 

$(2) \Rightarrow 8t^2y^2+y^2-4ty^2 = 1 \Rightarrow y^2(8t^2 - 4t + 1) = 1 => y^2 = \frac{1}{8t^2 - 4t + 1}$

$(1) \Rightarrow 16t^2y^2+y^4 - 8ty^4 = 1 \Rightarrow \frac{16t^2}{(8t^2-4t+1)} + \frac{1}{(8t^2-4t + 1)^2} - \frac{8t}{(8t^2-4t+1)^2}= 1$

$\Rightarrow 64t^4 -16t^2 = 0$

suy ra t roi suy ra x,y

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QQspeed22: 21-06-2016 - 19:12

[Baoriven]

Lời giải bài 66: (khác)

Hệ phương trình viết lại: $16x^2+y^4-8xy^3-1=0$

                                       $2+8xy-16x^2-2y^2=0$

Lấy (1) cộng (2): $(y^2-1)(y^2-1-8xy)=0\Leftrightarrow y=\pm 1;8xy=y^2-1$

* $y=-1\Rightarrow x=0;x=\frac{-1}{2}$

* $y=1\Rightarrow x=0;x=\frac{1}{2}$

* $8xy=y^2-1\Rightarrow y=\pm 1;y=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Vậy được 6 nghiệm (x;y)

[An Infinitesimal]

Lí do tại sao

Phương trình đa thức có hệ số nguyên này có hệ số tự do là 1 và hệ số cao nhất là 1. Do đó nghiệm hữu tỉ phải là nghiệm nguyên và là ước của $1$.

Kiểm tra $x=\pm 1$. Suy ra $x=-1$ là nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu.

 

Mọi nghiệm hữu tỉ $x=\frac{p}{q}$ với $(p,q)=1$ của đa thức $P(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$ đều thỏa $p|a_0, q|a_n$.

[QQspeed22]

Các bạn còn câu pt,hpt,bpt không vậy

[Dinh Xuan Hung]

Bài 67:

 

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 4\sqrt[3]{y^2}\left ( x^2y^2+8y^2x+12y^2 \right )+2y\sqrt[3]{y}+1=5\sqrt[3]{y^2}.\sqrt{y(xy+3y)^3} & & \\ \left ( x^2y^2+8xy^2+12y^2 \right )^3+4y^4\left ( x^2y^2+8xy^2+12y^2-1 \right )=1 & & \end{matrix}\right.$

 

-Đinh Xuân Hùng-

[An Infinitesimal]

Bài 61:

$x^{\frac{1}{x}} = (x+1)^{\frac{1}{x+1}}$

 

 

Bài này yêu cầu giải PT hay chỉ xác định số nghiệm của phương trình vậy?

[QQspeed22]

Bài này yêu cầu giải PT hay chỉ xác định số nghiệm của phương trình vậy?

Giải pt bạn

[Hai2003]

Bài 65: Giải phương trình:

$x^2-3x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^4+x^2+1}$

Bài 66: Giải hệ phương trình:

$16x^2+y^4=8xy^3+1$

$1+4xy=8x^2+y^2$

Bài 65:

$$x^{2}-3x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}\\ \Rightarrow (x^{2}-3x+1)^{2}=\left ( -\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1} \right )^{2}\\ \Leftrightarrow x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x+1=\frac{1}{3}(x^{4}+x^{2}+1)\\ \Leftrightarrow 3x^{4}-18x^{3}+33x^{2}-18x+3=x^{4}+x^{2}+1\\ \Leftrightarrow x^{4}-9x^{3}+16x^{2}-9x+1=0\\ \Leftrightarrow (x-1)^{2}(x^{2}-7x+1)=0\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\\ x=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$$

Thử lại, ta thấy chỉ $x=1$ thỏa mãn phương trình ban đầu.

Vậy $x=1$