Chủ đề này có 375 trả lời

[Baoriven]

Lời giải bài 42:

Điều kiện: $x\geq 0$

Ta viết lại phương trình:

$(3x-4\sqrt{x}-2)(6x+2\sqrt{x}+1)=0$

phương trình $6x+2\sqrt{x}+1=0$ (vô nghiệm do điều kiện)

phương trình $3x-4\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow x=\frac{14+4\sqrt{10}}{9}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{14+4\sqrt{10}}{9}$

[Baoriven]

Mình xin đăng BÀI 43:  Giải hệ phương trình

$\frac{1}{1+2^x}+\frac{1}{1+3^x}+\frac{1}{1+10^x}=\frac{3}{1+2^y}$

$2^x(\sqrt{2})^y=2^\sqrt{2x^2+\frac{1}{2}y^2}$

$x,y\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 07-06-2016 - 15:59

[thinhnarutop]

pt dưới tương đương:

$2^{x}.2^{\frac{y}{2}} = 2^{\sqrt{2x^{2}+\frac{1}{2}y^{2}}}$

$\Leftrightarrow 2^{_{x+\frac{y}{2}}} = 2^{\sqrt{2x^{2}+\frac{1}{2}y^{2}}}$

$\Leftrightarrow x+\frac{y}{2} = \sqrt{2x^{2}+\frac{1}{2}y^{2}} \Leftrightarrow x^{2} + \frac{1}{4}y^{2} + xy = 2x^{2} + \frac{1}{2}y^{2}$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}y$

thế vào pt đầu và giải tiếp

[Baoriven]

Giải tiếp sao bạn thinhnarutop, cậu giải dùm tớ được ko??? 

Mình biết đây là mấu chốt bài toán nhưng giải phương trình cuối ko dễ nên mong bàn hoàn thành bài giải.

thế vào pt đầu và giải tiếp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 07-06-2016 - 19:01

[Baoriven]

Xin đăng tiếp BÀI 44:

Giải hệ phương trình

$9^{2y-1}+3^{x+2y-2}+3^{x-2y}-2\sqrt{x^2+12y^2-2x-12y+4}=3$

$30\sqrt{x-2y}-4\sqrt{2y-1}=2013(x-2y)$

[Baoriven]

$\begin{cases} y\sqrt{x} +y\sqrt{y} +y\sqrt{z} -x\sqrt{x} -x\sqrt{z} -x\sqrt{y} -z\sqrt{x} -z\sqrt{y}-z\sqrt{z} =0   \\ y=\dfrac{1-xz}{x+z} \\ (y+z)(\dfrac{1}{y^{2}+1} +\dfrac{1}{z^{2}+1} +\dfrac{1}{4xy} ) = \dfrac{5}{2} \end{cases}$

Xin giải Bài 26 ở page 4:

Bài này mình đánh giá 2 lần ở phương trình (3)

Điều kiện: x,y,z$\geq 0$

y,z =0 ko thỏa nên y,z khác 0

Đánh giá lần 1:

Ta có: $\frac{5}{2}\leq (y+z)(\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{4yz})$

$\Leftrightarrow 2(y+z)^2+(y+z)-10yz\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{-1}{2}(y+z)^2+y+z\geq 0\Leftrightarrow 0\leq y+z\leq 2$

Suy ra $yz\leq 1$

Đánh giá lần 2:

$\frac{5}{2}\geq (y+z)(\frac{4}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{(y+z)^2})\geq (y+z).\frac{5}{(y+z)^2}$ 

$\Leftrightarrow y+z\geq 2$

Suy ra y+z=2 suy ra y=z=1 nên x=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 08-06-2016 - 21:10

[nguyenduy287]

Xin giải Bài 26 ở page 4:

Bài này mình đánh giá 2 lần ở phương trình (3)

Điều kiện: x,y,z$\geq 0$

y,z =0 ko thỏa nên y,z khác 0

Đánh giá lần 1:

Ta có: $\frac{5}{2}\leq (y+z)(\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{4yz})$

$\Leftrightarrow 2(y+z)^2+(y+z)-10yz\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{-1}{2}(y+z)^2+y+z\geq 0\Leftrightarrow 0\leq y+z\leq 2$

Suy ra $yz\leq 1$

Đánh giá lần 2:

$\frac{5}{2}\geq (y+z)(\frac{4}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{(y+z)^2})\geq (y+z).\frac{5}{(y+z)^2}$ 

$\Leftrightarrow y+z\geq 2$

Suy ra y+z=2 suy ra y=z=1 nên x=0

chỗ đánh giá lần 1 suy ra yz $\leq 1$ để làm gì vậy cậu ? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenduy287: 09-06-2016 - 10:08

[Baoriven]

Xin đăng thêm bài mới và bài chưa có lời giải

BÀI 44: Giải hệ phương trình:

$9^{2y-1}+3^{x+2y-2}+3^{x-2y}-2\sqrt{x^2+12y^2-2x-12y+4}=3$

$30\sqrt{x-2y}-4\sqrt{2y-1}=2013(x-2y)$

BÀI 45: Giải hệ phương trình:

$3x^2+xy-6x-y+2=0$

$\frac{4x^4}{(1+x)^4}=\frac{2xy}{(1+x)^2}+3$

BÀI 46: Giải phương trình:

$18x+16+4\sqrt{2x^2+5x-3}=7\sqrt{4x^2+2x-2}+7\sqrt{2x^2+8x+6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 14-06-2016 - 15:07

[An Infinitesimal]

 

Bài toán 32(Bài toán hiện tại): Chứng minh rằng phương trình sau có 7 nghiệm thực: $g(x)=x^{9}-9x^{7}+3x^{6}+27x^{5}-18x^{4}-27x^{3}+27x^{2}-1=0$

 

 

 

Ta có $g'(x)=9x(x + 2)(x + 1)(x^2 - 3)(x - 1)^3.$

Bằng cách vẽ bảng BBT, ta sẽ thấy đa thức $g$ có đúng 7 nghiệm thực. Cụ thể hơn, các khoảng chứa nghiệm là

$(-\infty, -2), (-2, -\sqrt{3}), (-\sqrt{3}, -1), (-1, 0), (0,1), (1, \sqrt{3}), (\sqrt{3}, \infty).$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 10-06-2016 - 21:41

[An Infinitesimal]

--------------------------

Ơ #110, đã có người post lời giải nhưng ở trang đầu vẫn ghi đó là bài toán "hiện tại".

[Baoriven]

Tại bạn NTA 1907 có việc bận nên dạo này ít cập nhật lại cho marathon. các bài 44,45,46 chưa có lời giải với một số bài ở trang 4 và 5 nha bạn

[An Infinitesimal]

Xin đăng thêm bài mới và bài chưa có lời giải

BÀI 44: Giải hệ phương trình:

$9^{2y-1}+3^{x+2y-2}+3^{x-2y}-2\sqrt{x^2+12y^2-2x-12y+4}=3$

$30\sqrt{x-2y}-4\sqrt{2y-1}=2013(x-2y)$

 

 

 

Đặt \[a=\sqrt{x-2y},\]

\[b=\sqrt{2y-1}.\]

Hệ phương trình trở thành 

\[ 30a-4b= 2013b^2,\]

\[3^{2b^2}+3^{2b^2+a^2}+3^{a^2}- \sqrt{a^4+2a^2b^2+4b^4}=3.\]

Ta nhận thấy 

\[3^{2b^2}+3^{2b^2+a^2}+3^{a^2}- \sqrt{a^4+2a^2b^2+4b^4}\ge 3 . 3^{(4b^2+2a^2)/3}-2(2b^2+a^2) \ge 3.\]

($ f(x)= 3. 3^{2/3x}-2x $ đồng biến trên $ [0,\infty) $.)

 

Dấu bằng xả ra khi \[a=b=0.\]

Do đó $x=1,\, y=\frac{1}{2}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 11-06-2016 - 23:24

[LuaMi]

Mình xin đăng BÀI 43:  Giải hệ phương trình

$\frac{1}{1+2^x}+\frac{1}{1+3^x}+\frac{1}{1+10^x}=\frac{3}{1+2^y}$

$2^x(\sqrt{2})^y=2^\sqrt{2x^2+\frac{1}{2}y^2}$

$x,y\geq 0$

 

Từ PT thứ hai, ta nhận được: $2x=y$. Ta dễ chứng minh được: Với 3 số $a,b,c\geq 1$ ta luôn có: $\sum \frac{1}{1+a^3}\geq \frac{3}{1+abc}$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$. Dấu của BĐT đổi chiều khi $0\leq a,b,c< 1$

Thế $2x=y$ vào PT đầu ta được: $\frac{1}{1+2^x}+\frac{1}{1+3^x}+\frac{1}{1+10^x}=\frac{3}{1+4^x}$

+) Với $x=0$ thì PT được thỏa mãn $\Rightarrow y=0$

+) Với $x>0$, áp dụng BĐT trên với $2^x,3^x,10^x>1$, ta có: $\frac{1}{1+2^x}+\frac{1}{1+3^x}+\frac{1}{1+10^x}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{2^x.3^x.10^x}}>\frac{3}{1+4^x}$

Vậy PT vô nghiệm với $x>0$

Vậy HPT có nghiệm duy nhất $(x;y)=(0;0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuaMi: 12-06-2016 - 07:41

[LuaMi]

Bài 47: Giải PT

$2\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x+4}}-\frac{2}{\sqrt{x^2+1}}=4-x^2$​

[An Infinitesimal]

Sự tuần tự theo qui định sẽ giúp cho người quan tâm dễ dàng tập trung vào một bài duy nhất- bài toán hiện tại (hoặc có thêm những bài toán chưa có lời giải). Ngược lại, ở đây, việc post thêm bài mới không như quy định ban đầu. Hơn nữa, mọi người đã bỏ qua rất nhiều lưu ý đã bị bỏ qua, và vì vậy họ làm sai qui định.

 

 

Qua trao đổi với bạn No Moniker, Viet nam is in my heart và Bảo thì mình xin mở topic về số học này.
Mục đích của topic này là để trao đổi, trau dồi thêm về các bài toán số học ở cấp phổ thông, phục vụ cho việc thi HSG, Olympic,...
Sau đây là một số chủ đề có thể thảo luận trong topic này:

• Các bài toán về chia hết
• Phương trình nghiệm nguyên
• Các bài toán liên quan đến hàm số học
• Thặng dư chính phương - Ký hiệu Legendre, ký hiệu Jakobi
• Cấp số nguyên - Căn nguyên thủy
• Bất đẳng thức số học
• Các bài toán số học liên quan đến tổ hợp
• Bổ đề LTE
• Các định lý số học như định lý Fermat, định lý Wilson, ...
• Phần nguyên
• Các bài toán liên quan đến định lý thặng dư Trung Hoa
• ...

Nội dung của cuộc thi này khá đơn giản, khi bạn giải đúng được bài toán hiện có thì bạn có thể đăng lên tại đây và mình sẽ cộng thêm cho các bạn một điểm, và các bạn có quyền được đề xuất bài toán mới. Như vậy ai giải thì người đó sẽ có quyền đề xuất, trừ khi bạn không biết đề xuất bài nào thì bạn có thể nhờ hỗ trợ.

 

Và một số quy định yêu cầu các bạn tuân thủ:

1. Chỉ cho phép các bài toán trong phạm vi số học
2. Ghi nguồn bài toán rõ ràng
3. Không được phép giải bài toán của chính mình đề xuất, không được phép đề xuất các bài toán trong các cuộc thi chưa kết thúc (ví dụ như tạp chí toán học & tuổi trẻ,...)
4. Không được spam, lời giải rõ ràng, cụ thể.
5. Khi bạn giải bài toán thứ $n$ thì bạn đề xuất luôn bài toán thứ $n + 1$ (đánh đúng số thứ tự). Sau đây là mẫu:
   Lời giải bài $n$. ABCXYZ
   Bài toán $n + 1$. (Nguồn) Cho ba số $a, b, c$. Chứng minh rằng $3\mid abc$.
6. Lưu ý không đăng các bài toán mở, các giả thuyết, ...
7. Nếu một bài toán trong vòng $7$ ngày chưa ai giải được thì sẽ được đánh dấu lại và mình sẽ đăng bài toán tiếp theo. Bất cứ lúc nào bạn muốn đề xuất lời giải cho bài chưa được giải cũng được và sẽ được cộng hai điểm nếu như lời giải đúng. Ngoài ra nếu các bạn nghĩ mình có lời giải hay hơn của bạn trước tiên giải bài nào đó thì xin cứ đăng (sẽ chỉ cộng điểm cho bạn làm đúng và nhanh nhất), như vậy sẽ học hỏi lẫn nhau được nhiều hơn.
   Ngoài ra, trước khi hết hạn $4$ ngày của một bài toán chưa được giải thì mong các bạn không đề xuất bài toán mới.
8. Yêu cầu các bài toán có độ khó nhất định, phải suy nghĩ mới làm được.
9. Yêu cầu tuân thủ các quy định. Bài viết nào có tính chất spam sẽ bị xóa đi hoặc lời giải đúng nhưng không rõ ràng, lan man sẽ chỉ nhận được $0,5$ điểm.

Mình khuyến khích mọi người tự đưa lời giải của chính mình thay vì lời giải của người khác hoặc dẫn link lời giải.

Hi vọng các bạn tham gia và đón nhận  . Nếu các bài toán hay và lời giải đẹp thì ta sẽ tổng hợp thành một tài liệu nhỏ để tham khảo trong quá trình học Olympic, sẽ khá tốt.

Lưu ý: Các bạn khi đăng lời giải hãy để mọi người kiểm tra hộ bạn rồi hẳn đề xuất bài toán mới (kinh nghiệm của mình)

 

[nguyenduy287]

Bài 47: Giải PT

$2\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x+4}}-\frac{2}{\sqrt{x^2+1}}=4-x^2

dkd : $x> -4$

pt viết lại $2\sqrt{\frac{x^2-3}{x+4}+1}-2+1-\frac{2}{\sqrt{x^2+1}}+x^2-3=0$

$2(\frac{x^2-3}{x+4})\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x+4}+1}+1}+\frac{\sqrt{x^2+1}-2}{\sqrt{x^2+1}}+x^2-3=0$

$2(x^2-3)\frac{1}{x+4+\sqrt{(x^2+x+1)(x+4)}}+\frac{x^2-3}{\sqrt{x^2+1}(2+\sqrt{x^2+1})}+x^2-3=0$

$(x^2-3)(\frac{2}{(x+4)+\sqrt{(x^2+x+1)(x+4)}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}(2+\sqrt{x^2+1})}+1)=0$

phần còn lại trong ngoặc dễ thấy nó luôn dương 

nên pt có nghiệm $x=\pm \sqrt{3}$

Không đăng bài mới vì còn bài 45, 46 chưa có người giải nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenduy287: 12-06-2016 - 15:19

[nguyenduy287]

Bài 48: $8x^2+3x+(4x^2+x-2)\sqrt{x+4}=4$

[Baoriven]

Lời giải bài 48: 

Điều kiện: $x\geq -4$

phương trình tương đương:

$8x^2+2x-4+(4x^2+x-2)\sqrt{x+4}+(x+4)-4=0$

Đặt: $a=4x^2+x-2;b=\sqrt{x+4},b\geq 0$

Từ đó, viết lại: $(a+b-2)(b+2)=0$

b+2>0 nên $a+b-2=0\Rightarrow 4x^2+x-2+\sqrt{x+4}-2=0$

Từ đó: ta có nghiệm: $x=\frac{-3+\sqrt{57}}{8};x=\frac{1-\sqrt{65}}{8}$

[hoangthihaiyen2000]

Bài 49 : Giải hpt : $\begin{cases}\frac{1}{xy}=\frac{x}{z}+1\\\frac{1}{yz}=\frac{y}{x}+1 \\ \frac{1}{zx}=\frac{z}{y}+1 \end{cases}$

[hoangthihaiyen2000]

Bài 50 : Giải hpt $\begin{cases}x^2(y+z)^2=(3x^2+x+1)y^2z^2\\y^2(z+x)^2=(4y^2+y+1)z^2x^2 \\ z^2(x+y)^2=(5z^2+z+1)x^2y^2 \end{cases}$
Bài 51 : Giải hpt :$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{2014} \\ \frac{1}{3x+2y}+\frac{1}{3y+2z}+\frac{1}{3z+2x}=\frac{1}{x+2y+2z}+\frac{1}{2x+y+2z}+\frac{1}{2x+2y+z} \end{cases}$
Bài 52 : Giải hpt : $\begin{cases}x=z^3-3z \\y=x^3-3x\\ z=y^3-3y \end{cases}$