P/s: Lời giải này của mình rất khủng nhé!
Trường hợp 1: Nếu $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}-x-1>0\\x\in \left[ {-\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}};\frac{9}{5}} \right]\end{array} \right.$. Khi đó $\displaystyle \sqrt{{3{{x}^{3}}+1}}\le \frac{{34\sqrt{{10}}}}{{25}}<\frac{9}{2}$. Suy ra được: $$f\left( x \right) = 2{x^4} - 4x + 1 - \left( {{x^3} - x - 1} \right)\sqrt {3{x^3} + 1} > 2{x^4} - 4x + 1 - \frac{9}{2}\left( {{x^3} - x - 1} \right) = \frac{{4{x^4} - 9{x^3} + x + 11}}{2}$$$$ = \frac{{4{{\left( {{x^2} - \frac{9}{8}x - \frac{9}{{10}}} \right)}^2} + \frac{{171}}{{80}}{x^2} - \frac{{71}}{{10}}x + \frac{{194}}{{25}}}}{2} > 0$$Vậy phương trình vô nghiệm khi $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}-x-1>0\\x\le \frac{9}{5}\end{array} \right.$
Trường hợp 2: Nếu $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}-x-1<0\\x\in \left[ {-\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}};\frac{9}{5}} \right]\end{array} \right.$. Ta có đánh giá $ \displaystyle \sqrt{{3{{x}^{3}}+1}}>\frac{3}{2}x+\frac{9}{{25}}\left( 1 \right)$
- Nếu $\displaystyle x\in \left[ {-\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}};-\frac{6}{{25}}} \right]$ thì $(1)$ luôn đúng!
- Nếu $ \displaystyle x\in \left[ {\frac{{-6}}{{25}};\frac{9}{5}} \right]$ thì $ \displaystyle \left( 1 \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{3}}-\frac{9}{4}{{x}^{2}}-\frac{{27}}{{25}}x+\frac{{544}}{{625}}>0\Leftrightarrow g\left( x \right)>0$. Ta có:$$g'\left( x \right) = 9{x^2} - \frac{9}{2}x - \frac{{27}}{{25}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{5 \pm \sqrt {73} }}{{20}}$$$$g\left( { - \frac{6}{{25}}} \right) \approx 0,95 > 0;\,g\left( {\frac{9}{5}} \right) = \frac{{22831}}{{2500}} > 0;\,g\left( {\frac{{5 + \sqrt {73} }}{{20}}} \right) \approx 0,0388 > 0;\,\,g\left( {\frac{{5 - \sqrt {73} }}{{20}}} \right) \approx 0,97 > 0$$Vậy $(1)$ luôn đúng!
Khi đó $f\left( x \right) > 2{x^4} - 4x + 1 - \left( {{x^3} - x - 1} \right)\left( {\frac{3}{2}x + \frac{9}{{25}}} \right)$$$ = \frac{{25{x^4} - 18{x^3} + 75{x^2} - 107x + 68}}{{25}} = \frac{{25{x^2}{{\left( {x - \frac{9}{{25}}} \right)}^2} + \frac{{19}}{{25}}{x^2} + 71{{\left( {x - \frac{{107}}{{142}}} \right)}^2} + \frac{{7863}}{{284}}}}{{25}} > 0$$Vậy phương trình vô nghiệm trên $\left[ { - \root 3 \of {\frac{1}{3}} ;\frac{9}{5}} \right]$
Trường hợp 3: Nếu $x \geqslant \frac{9}{5}$
Ta có: $f'\left( x \right) = 8{x^3} - 4 - \frac{{27{x^5} - 15{x^3} - 3{x^2} - 2}}{{2\sqrt {3{x^3} + 1} }} = \frac{{2\left( {8{x^3} - 4} \right)\sqrt {3{x^3} + 1} - \left( {27{x^5} - 15{x^3} - 3{x^2} - 2} \right)}}{{2\sqrt {3{x^3} + 1} }}$
Để ý thấy:
- $8{x^3} - 4 > 0\forall x \geqslant \frac{9}{5}$
- $27{x^5} - 15{x^3} - 3{x^2} - 2 = 27{\left( {x - 1} \right)^5} + 135{\left( {x - 1} \right)^4} + 255{\left( {x - 1} \right)^3} + 222{\left( {x - 1} \right)^2} + 84\left( {x - 1} \right) + 7 > 0$
Ta có đánh giá $\sqrt {3{x^3} + 1} < {x^2} - \frac{1}{5}x + \frac{3}{2}\left( * \right)$
Bây giờ sẽ đi chứng minh $(*)$ luôn đúng.
Ta có: $$\sqrt {3{x^3} + 1} < {x^2} - \frac{1}{5}x + \frac{3}{2} \Leftrightarrow {x^4} - \frac{{17}}{5}{x^3} + \frac{{76}}{{25}}{x^2} - \frac{3}{5}x + \frac{5}{4} > 0$$$$ \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x - \frac{{17}}{{10}}} \right)^2} + \frac{3}{{20}}{\left( {x - 2} \right)^2} + \frac{{13}}{{20}} > 0$$Vậy $(*)$ luôn đúng.
Khi đó $f'\left( x \right) < \left( { - 55{x^5} - 16{x^4} + 195{x^3}} \right) + \left( { - 25{x^2} + 8x - 50} \right) < 0$
Suy ra $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ {\frac{9}{5}; + \infty } \right)$. Vậy $x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuaneee111: 24-06-2017 - 08:07