a) Giải hệ $\left\{\begin{matrix} (x-2y)(x+my)=m^2-2m-3\\ (y-2x)(y+mx)=m^2-2m-3\end{matrix}\right.$ khi $m=-3$ và tìm $m$ để hệ có ít nhất một nghiệm $(x_0;y_0)$ thỏa $x_0>0,y_0>0$
b) Tìm $a\geqslant 1$ để phương trình $ax^2+(1-2a)x+1-a=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa $x_2^2-ax_1=a^2-a-1$
Bài 2: Cho $x,y$ nguyên dương và $xy\mid x^2+y^2+10$
a) Chứng minh $(x,y)=1$ và $x,y$ là hai số lẻ
b) Chứng minh $k=\frac{x^2+y^2+10}{xy}$ chia hết cho $4$ và $k\geqslant 12$
Bài 3: Cho $x\geqslant y\geqslant z,$ $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=6$
a) Tính $S=(x-y)^2+(x-y)(y-z)+(z-x)^2$
b) Tìm $GTLN$ của $P=|(x-y)(y-z)(z-x)|$
Bài 4: Tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{BAC}>45^0$.Dựng các hình vuông $ABMN,ACPQ$ $(M,C$ khác phía đối với $AB,B$ và $Q$ khác phía đối với $AC)$. $AQ$ cắt đoạn $BM$ tại $E$ và $NA$ cắt đoạn $CP$ tại $F$
a) Chứng minh $\Delta ABE\sim \Delta ACF$ và tứ giác $EFQN$ nội tiếp
b) Chứng minh trung điểm $I$ của $EF$ là tâm đường tròn ngọai tiếp tan giác $ABC$
c) $MN$ cắt $PQ$ tại $D$, các đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMQ$ và $DNP$ cắt nhau tại $K$ $(K\neq D)$, các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiêp tam giác $ABC$ tại $B,C$ cắt nhau tại $J$.Chứng minh $D,A,K,J$ thẳng hàng
Bài 5: Với mỗi số nguyên dương $m>1$, kí hiệu $s(m)$ là ước nguyên dương lớn nhất của $m$ và khác $m$.Cho số tự nhiên $n>1$, đặt $n_0=n$ và lần lượt tính các số $n_1=n_0-s(n_0),n_2=n_1-s(n_1),...,n_{i+1}=n_i-s(n_i),...$ Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ để $n_k=1$ và tính $k$ khi $n=2^{16}.14^{17}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 02-06-2016 - 10:22