Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng $\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}\geq \frac{3}{2}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng $\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}\geq \frac{3}{2}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng $\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}\geq \frac{3}{2}$
$\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}=\sum \frac{2a^4}{2a\sqrt{b^2+3}} \ge 4.\frac{(\sum a^2)^2}{5\sum a^2+9}=\frac{3}{2}$
xét hạng tử thứ nhất nhân a cả tử và mẫu . sau đó dùng schwart => đpcm
$\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}=\sum \frac{2a^4}{2a\sqrt{b^2+3}} \ge 4.\frac{(\sum a^2)^2}{5\sum a^2+9}=\frac{3}{2}$
Áp dụng $AM-GM$ ta có:
$\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{a\sqrt{b^2+3}}{4}\ge a^2$
Tương tự cho các bất đẳng thức còn lại rồi cộng lại ta được:
$\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\sum \frac{a\sqrt{b^2+3}}{4}\ge \sum a^2=3(1)$
Mà $2a*\sqrt{b^2+3}\le \frac{4a^2+b^2+3}{2}=> \sum \frac{a*\sqrt{b^2+3}}{4}\le \frac{5(a^2+b^2+c^2)+9}{16}=\frac{3}{2}(2)$
Từ $(1),(2)=> \sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\ge \frac{3}{2}$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 04-06-2016 - 06:44
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh