a) CEDF nội tiếp nên $ \angle ECF=\angle FDP$
Mà $ \angle ECF=\angle FCA=\angle FAP $ (= nửa số đo cung AF);
Suy ra $\angle FDP=\angle FAP$ nên ADFP nội tiếp
b) ADFP nội tiếp $ \Rightarrow \angle AFP=\angle ADP=90^{o}$
PA,PC tiếp xúc (O) lần lượt tại A,C nên PO là trung trục AC. Mà M là trung điểm AC nên P,M,O thẳng hàng
$ \rightarrow \angle PMA=90^o$
Ta có : $ \angle AFP=\angle ADP =\angle PMA=90^o $ nên A,M,D,F,P cùng thuộc đường tròn đường kính AP
$\rightarrow $ AMFP nội tiếp $\rightarrow $ $\angle CMF=\angle APF$
$ \Delta CFM $ và $ \Delta AFP$ có: $\angle MCF=\angle FAP; \angle FMC=\angle FPA$ nên $ \Delta CFM \sim \Delta AFP (g-g)$
$ \rightarrow \angle MFC=\angle AFP=90^o$
hay $ FC \perp FM$
c) Cần chứng minh: $ CA.CF=2NC.MF \leftrightarrow CM.CF=NC.MF$ $\leftrightarrow \frac{CM}{CN}=\frac{MF}{CF}$
Vì $\angle AFN =90^o$ nên A,O,N thẳng hàng
$ \Delta ONM $ và $ \Delta OPN$ có: $\angle NOM: chung ; \frac{NO}{OM}=\frac {PO}{ON} $ (do $OM.OP=OA^2=ON^2$) $\rightarrow $ $ \Delta ONM $ $\sim$ $ \Delta OPN \rightarrow \angle ONM=\angle OPN$
AMFP nội tiếp $\rightarrow \angle AFM=\angle APM=\angle NAM; \angle MAF=\angle MPF=\angle ONM$
$ \Delta AMN$ và $\Delta FMA$ có: $ \angle NAM=\angle AFM; \angle ANM=\angle MAF$ nên $ \Delta AMN$ $\sim$ $\Delta FMA$
$\rightarrow \angle NMA=\angle FMA\rightarrow \angle NMC=\angle CMF $
$\Delta CMN$ và $\Delta FMC$ có: $\angle MCN=\angle MFC=90^o; \angle NMC=\angle CMF $ nên $\Delta CMN$ $\sim $ $\Delta FMC$
$ \rightarrow $$\frac{CM}{CN}=\frac{MF}{CF}$ (đccm)
