Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I có trực tâm H. Gọi K là trung điểm AH. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với BK và cắt AC tại P. Chứng minh IP// BC.
Chứng minh IP // BC
#1
Đã gửi 13-06-2016 - 16:15
#2
Đã gửi 13-06-2016 - 17:14
Gọi $E$ là giao điểm của $BH$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $AH$ với $(O)$.
Xét tam giác $AHE$ có $K$ là trung điểm $AH$ nên ta có: $\angle KAE=\angle KEA$.
Lại có: Do $\angle PKB=\angle PEB=90^0$. Suy ra $BKPE$ nội tiếp.
Suy ra: $\angle KAE=\angle KEA=\angle KEP=\angle PBK=> 90^0-\angle KAE=90^0-\angle PBK$.
Hay $\angle KPB=\angle KHE=\angle FHB(1)$.
Mặt khác dễ dàng CM được: $F,H$ đối xứng nhau qua $BC$.
Nên ta có: $\angle FHB=\angle HFB(2)$.
Từ (1) và (2) suy ra: $\angle KPB=\angle KFB$. Suy ra: $BKPF$ nội tiếp
$=> \angle PFK=\angle PBK=\angle PAK$. Suy ta tam giác $APF$ cân tại $P=> PA=PF$.
Mà $IA=IF$=> $PI$ vuông góc $AF=>PI//BC(dpcm)$
- TrongDuong, O0NgocDuy0O và chanvien99 thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh