Chủ đề này có 3 trả lời

[Baoriven]

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $\sum a^2=3$

Tìm MAX: F=$\frac{1}{5-2ab}+\frac{1}{5-2bc}+\frac{1}{5-2ca}$

[Ankh]

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $\sum a^2=3$

Tìm MAX: F=$\frac{1}{5-2ab}+\frac{1}{5-2bc}+\frac{1}{5-2ca}$

 Giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$ 

 Ta có $\dfrac{3}{2}-F=\sum \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5-2ab}\right)=\sum \dfrac{3-2ab}{2(5-2ab)}$

 Cho neenn $3-2F=\sum \dfrac{(a-b)^2+c^2}{5-2ab}=\sum \dfrac{(a-b)^2}{5-2ab}+\sum \dfrac{c^2}{5-2ab}\geq \dfrac{4(a-c)^2+(a+b+c)^2}{15-2\sum ab}$

 Chú ý là $4(a-c)^2+(a+b+c)^2-(15-2ab-2bc-ca)=-4(b-c)(b-a)\geq 0$ nên $3-2F\geq 1$ nên $F\leq 1$

 Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

[Nguyenngoctu]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $${a^2} + {b^2} + {c^2} = 1$$. Chứng minh rằng: $$\frac{1}{{1 - ab}} + \frac{1}{{1 - bc}} + \frac{1}{{1 - ca}} \le \frac{9}{2}$$.

[the unknown]

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $\sum a^2=3$

Tìm MAX: F=$\frac{1}{5-2ab}+\frac{1}{5-2bc}+\frac{1}{5-2ca}$

Một hướng làm khác  :

Với $x\in [0;\frac{3}{2}]$ thì $\frac{1}{5-2x}\leq \frac{2x^2-2x+3}{9}\Leftrightarrow (x-1)^2(3-2x)\geq 0$ (luôn đúng).

Mặt khác theo AM-GM thì để ý rằng $ab,bc,ca\in[0;\frac{3}{2}]$ nên do đó ta có:

$\sum \frac{1}{5-2ab}\leq \sum \frac{2a^2b^2-2ab+3}{9}= \frac{2}{9}(\sum a^2b^2-\sum ab)+1$.

Mặt khác ta có: $\sum a^2b^2\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}\leq \frac{(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)}{3}= \sum ab\Rightarrow \sum \frac{1}{5-2ab}\leq 1$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.