Chủ đề này có 6 trả lời

[leminhnghiatt]

Cho $x,y,z>0$: $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm min  của: $P=x^3+y^3+z^3-3xyz$

[thinhnarutop]

Ta có: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=(a+b+c)(2-ab-bc-ca)$

$\Leftrightarrow P^{2}=(a+b+c)^{2}(2-ab-bc-ca)(2-ab-bc-ca)\leq (\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc-2ab-2bc-2ca+4}{3})^{3}$

$\Leftrightarrow P^{2}\leq 8$

$\Leftrightarrow P\geq -2\sqrt{2}$

Dấu = xảy ra khi $a= -\sqrt{2},b=c=0$ và các hoán vị 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhnarutop: 18-06-2016 - 14:41

[Baoriven]

Cách giải bạn có vấn đề rồi. Vì đề cho x,y,z dương hẳn mà bạn 

Trong khi đó, dấu bằng xảy ra khi b=c=0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 18-06-2016 - 14:51

[Baoriven]

Xin liều giải thử.

$P=(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-y)^2)$

$P\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}$

[leminhnghiatt]

Xin liều giải thử.

$P=(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-y)^2)$

$P\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}$

 

Mình không rõ dấu bằng xảy ra khi nào nhưng trong đáp án là $minP=-2\sqrt{2}$

[Baoriven]

Mình biết là vậy nhưng điều kiện bạn cho là dương. Nếu là thực thì ra đúng như bạn thinhnarutop giải

[nuoccam]

Cho $x,y,z>0$: $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm min  của: $P=x^3+y^3+z^3-3xyz$

Bài max đơn giản mà bạn, áp dụng Cauchy 3 số dương ==> P $\geq$ 0

Dấu "=" khi x=y=z 

Giả thiết tổng 3 số kia ko cần thiết

Thực sự ko biết các bạn tranh luận cái gì 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 20-06-2016 - 21:19