2 replies to this topic

[Rantaro]

Cho $x>0$. Chứng minh rằng $\sqrt{\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}}\ge e^{\left(\frac{x-1}{x+1} \right)^2}$

[Minhnguyenthe333]

Cho $x>0$. Chứng minh rằng $\sqrt{\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}}\ge e^{\left(\frac{x-1}{x+1} \right)^2}$

BĐT$<=>\ln (\sqrt{\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}})\geqslant \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}$ $(*)$

 

Đặt $f(x)=\ln (\sqrt{\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}})- \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}$ $(x>0)$

 

Ta có: $f'(x)=\frac{x^2-1}{2x(x^2+1)}-\frac{4(x-1)}{(x+1)^3}=(x-1)[\frac{x+1}{2x(x^2+1)}-\frac{4}{(x+1)^3}]$

$f'(x)=0<=>x=1$ mà $f(x)$ đồng biến trên $x\in (0;\infty)$

 

Suy ra $f(x)\geqslant f(1)=0$ hay $\ln (\sqrt{\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}})- \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}\geqslant 0$

 

Do đó $(*)$ luôn đúng nên ta có đpcm

Edited by Minhnguyenthe333, 23-06-2016 - 21:27.

[WhjteShadow]

 

Ta có: $f'(x)=\frac{x^2-1}{2x(x^2+1)}-\frac{4(x-1)}{(x+1)^3}=(x-1)[\frac{x+1}{2x(x^2+1)}-\frac{4}{(x+1)^3}]$

$f'(x)=0<=>x=1$ mà $f(x)$ đồng biến trên $x\in (0;\infty)$

 

Suy ra $f(x)\geqslant f(1)=0$ hay $\ln (\sqrt{\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}})- \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}\geqslant 0$

 

Do đó $(*)$ luôn đúng nên ta có đpcm

Đoạn này bạn làm có nhầm lẫn thì phải, đầu tiên cái $f'(x)$ đã khai triển ra hết nghiệm (kể cả nghiệm bội) đâu ? Với $f(x)$ không đồng biến trên $(0,\infty)$ mà ?

(Vì điểm 1 là điểm cực tiểu của hàm số).

Lẽ ra phải như thế này :

$$f'(x)= (x-1)\left[\frac{x+1}{2x(x^2+1)}-\frac{4}{(x+1)^3}\right]=\frac{(x-1)^5}{2x(x^2+1)(x+1)^3}$$

Có nghiệm là $1$ và nó biến thiên từ âm sang dương khi đi qua điểm $1$. Vậy $f(x)$ có cực tiểu khi $x=1$.

$\Rightarrow f(x)\geq f(1)=0$