Chủ đề này có 1 trả lời

[Baoriven]

Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: $abc=1$.

Tìm GTLN của: $M=\frac{a+b+c-1}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

[cyndaquil]

 $ \bullet (a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

Ta chứng minh $M \le \frac 14 \Leftrightarrow 4(a+b+c-1) \le (a+b+c)(ab+bc+ca)-1$

$\Leftrightarrow (a+b+c)\bigg(4-(ab+bc+ca) \bigg) \le 3$

$\Leftrightarrow ab+bc+ca+\frac 3{a+b+c} \ge 4$

BDT này đúng do $VT \ge \sqrt{3abc(a+b+c)}+\frac 3{a+b+c} = \sqrt{3(a+b+c)} +\frac 3{a+b+c}$

$=\Bigg[ \sqrt{\frac{a+b+c}3}+\sqrt{\frac{a+b+c}3}+\frac 3{a+b+c} \Bigg] +\sqrt{\frac{a+b+c}3} \ge 3+1=4$

Mặt khác khi thay $a=b=c=1$ vào thì $M=\frac 14$

Vậy $\max M=\frac 14$