Chủ đề này có 2 trả lời

[thinhnarutop]

Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ax + by + cz = xyz

Chứng minh rằng $x+y+z> \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

[royal1534]

Từ giả thiết ta có: $ax+by+cz=xyz \Leftrightarrow \frac{ax}{yz}+\frac{b}{z}+\frac{c}{y}=x > \frac{b}{z}+\frac{c}{y}$
Tương tự: $y>\frac{a}{z}+\frac{c}{x}; z>\frac{a}{y}+\frac{b}{x}$
Cộng các bất đẳng thức vừa tìm được ta có:
$x+y+z>\frac{b+a}{z}+\frac{a+c}{y}+\frac{b+c}{x}$
$\Leftrightarrow 2(x+y+z) \geq \frac{b+a}{z}+z+\frac{a+c}{y}+y+\frac{b+c}{x} \geq2\sqrt{a+b}+2\sqrt{b+c}+2\sqrt{c+a}$ (BĐT AM-GM)
$\Leftrightarrow x+y+z > \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$ (Q.E.D)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 03-07-2016 - 01:32

[Baoriven]

Một lời giải khác.

Theo giả thiết ta có: $\frac{a}{yz}+\frac{b}{zx}+\frac{c}{xy}=1$

Đặt: $a=myz,b=nzx,c=pxy\Rightarrow m+n+p=1$

BĐT trở thành:

$x+y+z> \sqrt{z(my+nx)}+\sqrt{x(nz+py)}+\sqrt{y(px+mz)}$

Sử dụng BĐT C-S cho VP ta có: 

$\sqrt{z(my+nx)}+\sqrt{x(nz+py)}+\sqrt{y(px+mz)}\leq \sqrt{(x+y+z)(my+mz+nx+nz+px+py)}$

                                                                              $< \sqrt{(x+y+z)(m+n+p)(x+y+z)}=x+y+z$

BĐT được chứng minh.