Chủ đề này có 1 trả lời

[Baoriven]

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $a+b+c-1=0$. Chứng minh rằng:

$2(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})\geq \frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}$

[Thislife]

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $a+b+c-1=0$. Chứng minh rằng:

$2(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})\geq \frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}$

Ý tưởng là dùng bđt $S.S$

BĐT cần chứng minh tương đương :

$3+2(\frac{a}{c}+ \frac{c}{b}+\frac{b}{a}) \geqslant 2\sum \frac{1}{a+b}=2(a+b+c)\sum \frac{1}{a+b}$

$\Leftrightarrow 2(\frac{a}{c}+ \frac{c}{b}+\frac{b}{a})-6 \geqslant \sum(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b})-6$

$\Leftrightarrow 2(\frac{(a-c)^2}{ac} +\frac{(a-b)(c-b)}{ab})\geqslant \frac{2(a-c)^2}{(a+b)(b+c)}+\frac{(a-b)(c-b)(a+2b+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}$

$\Leftrightarrow 2(a-c)^2(\frac{1}{ac}-\frac{1}{(a+b)(b+c)})+(a-b)(c-b)(\frac{2}{ab}-\frac{a+2b+c}{(a+b)(b+c)(a+c)}) \geqslant 0$

Đến đây ta chỉ cần chứng minh $(a+b)(b+c) > ac$ và $2(a+b)(b+c)(a+c) > ab(a+2b+c)$

Nhưng nó hiển nhiên đúng vì $a,b,c$ dương, với cả giả sử $b=\max \{a,b,c\}$ thì bài toán đặt ra đã được chứng minh .Đẳng thứ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 04-07-2016 - 17:38