Chủ đề này có 3 trả lời

[O0NgocDuy0O]

Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ khác $0$, đôi một khác nhau và thỏa mãn:$$\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2}\leqslant 2.$$

Chứng minh $\sqrt{\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}+\frac{(a-b)^2}{c^2}}$  là số hữu tỉ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 06-07-2016 - 18:29

[chinh tuy binh quyen]

Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ khác $0$, đôi một khác nhau và thỏa mãn:$$\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2}\leqslant 2.$$
Chứng minh $\sqrt{\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}+\frac{(a-b)^2}{c^2}}$ là số hữu tỉ.

bài này trong THTT 5-2016 bạn ạ

[chinh tuy binh quyen]

Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ khác $0$, đôi một khác nhau và thỏa mãn:$$\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2}\leqslant 2.$$
Chứng minh $\sqrt{\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}+\frac{(a-b)^2}{c^2}}$ là số hữu tỉ.

bài này chỉ cần chứng minh vế trên bằng 2 và áp dụng hằng đẳng thức phụ để chứng minh. mình làm được rồi nhưng còn nhớ mang máng

[Minhnguyenthe333]

Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ khác $0$, đôi một khác nhau và thỏa mãn:$$\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2}\leqslant 2.$$

Chứng minh $\sqrt{\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}+\frac{(a-b)^2}{c^2}}$  là số hữu tỉ.

Đổi biến $(x,y,z)\rightarrow (\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a},\frac{c}{a-b})$

 

$=>\prod (x+1)=\prod (x-1)<=>\sum xy=-1$

 

Từ giả thiết: $VT=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\geqslant -2\sum xy=2=> \sum \frac{a^2}{(b-c)^2}=2$ hay $\sum x^2=2$ và $\sum x=0$

 

$=>\sqrt{\sum \frac{(b-c)^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{(xy+yz+zx)^2-2(x+y+z)(xy+yz+zx)xyz}{(xyz)^2}}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 06-07-2016 - 19:43