Chủ đề này có 1 trả lời

[goopd]

Cho đường tròn $(O)$ và các đường tròn $(O_{1}),(O_{2}),(O_{3})$ cùng tiếp xúc trong với $(O)$ và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Hãy nêu cách dựng hình.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi goopd: 09-07-2016 - 11:24

[chanhquocnghiem]

Cho đường tròn $(O)$ và các đường tròn $(O_{1}),(O_{2}),(O_{3})$ cùng tiếp xúc trong với $(O)$ và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Hãy nêu cách dựng hình.

Đề bài chuẩn là như thế này :

Cho đường tròn $(O)$ và các đường tròn $(O_1),(O_2)$ cùng tiếp xúc trong với $(O)$ và tiếp xúc ngoài với nhau.Hãy nêu cách dựng đường tròn $(O_3)$ tiếp xúc ngoài với $(O_1)$ và $(O_2)$ đồng thời tiếp xúc trong với $(O)$ ?

----------------------------------

 

Bài này có vẻ quá tầm THCS.Mình chỉ nghĩ ra cách giải bằng kiến thức PTTH, nhưng cũng không thể "chỉ dùng thước và compas"

------------------------------------

 

Giả sử đã dựng được đường tròn $(O_3)$ thỏa mãn điều kiện đề bài, tiếp xúc với $(O_1)$ tại $M$, với $(O_2)$ tại $N$, với $(O)$ tại $P$

Gọi bán kính các đường tròn $(O),(O_1),(O_2),(O_3)$ lần lượt là $R,R_1,R_2,R_3$.Đặt $R+R_1=a$ 

Xét các trường hợp :

$1)$ $R_1=R_2$

     Khi đó $O_3O_1=O_3O_2\Rightarrow O_3$ nằm trên đường trung trực $d$ của đoạn $O_1O_2$

     $O_3M=O_3P\Rightarrow O_3O_1-R_1=R-O_3O\Rightarrow O_3O_1+O_3O=R+R_1=a\Rightarrow O_3$ thuộc ellipse $(E)$ là tập hợp các điểm sao cho tổng khoảng cách từ chúng đến $O_1$ và $O$ bằng $a$ (là số không đổi)

     Cách dựng :

    + Dựng đường trung trực $d$ của đoạn $O_1O_2$

    + Dựng ellipse $(E)$ là tập hợp các điểm sao cho tổng khoảng cách từ chúng đến $O_1$ và $O$ bằng $a$ (là số không đổi)

    + $O_3$ chính là giao điểm nằm trong đường tròn $(O)$ của $d$ và $(E)$

    + Dựng đoạn $O_3O_1$ cắt $(O_1)$ tại $M$

    + Dựng đường tròn $(O_3;O_3M)$.Đó chính là đường tròn cần dựng.

 

$2)$ $R_1< R_2$ ($R_2-R_1=b$)

    Khi đó $O_3N=O_3M\Rightarrow O_3O_2-R_2=O_3O_1-R_1\Rightarrow O_3O_2-O_3O_1=R_2-R_1=b\Rightarrow O_3$ thuộc hyperbol $(H)$ là tập hợp các điểm sao cho hiệu các khoảng cách từ chúng lần lượt đến $O_2$ và $O_1$ bằng $b$

    $O_3M=O_3P\Rightarrow O_3O_1-R_1=R-O_3O\Rightarrow O_3O_1+O_3O=R+R_1=a\Rightarrow O_3$ thuộc ellipse $(E)$ là tập hợp các điểm sao cho tổng khoảng cách từ chúng đến $O_1$ và $O$ bằng $a$ (là số không đổi)

     Cách dựng :

    + Dựng hyperbol $(H)$ là tập hợp các điểm sao cho hiệu các khoảng cách từ chúng lần lượt đến $O_2$ và $O_1$ bằng $b$

    + Dựng ellipse $(E)$ là tập hợp các điểm sao cho tổng khoảng cách từ chúng đến $O_1$ và $O$ bằng $a$ (là số không đổi)

    + $O_3$ chính là giao điểm nằm trong đường tròn $(O)$ của $(H)$ và $(E)$

    + Dựng đoạn $O_3O_1$ cắt $(O_1)$ tại $M$

    + Dựng đường tròn $(O_3;O_3M)$.Đó chính là đường tròn cần dựng.

 

$3)$ $R_1> R_2$ 

     Làm tương tự trường hợp $2$.

 

-----------------------------------------------------

Theo cách giải này thì phải dựng ellipse và hyperbol, dĩ nhiên ko thể "chỉ dùng thước và compas"

Chờ xem có cách nào hay hơn không !