Chủ đề này có 3 trả lời

[Baoriven]

Cho x,y,z dương thỏa mãn: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1 + \sqrt[]{1 + x^2}}{x} + \dfrac{1 + \sqrt[]{1 + y^2}}{y} + \dfrac{1 + \sqrt[]{1 + z^2}}{z} \le xyz$

 

[tranductucr1]

Cho x,y,z dương thỏa mãn: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1 + \sqrt[]{1 + x^2}}{x} + \dfrac{1 + \sqrt[]{1 + y^2}}{y} + \dfrac{1 + \sqrt[]{1 + z^2}}{z} \le xyz$

Ta có $xyz(x+y+z)=(x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+xz)$ (Vì $x+y+z=xyz$)
=> $xyz \geq  3 (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

=> $xyz \geq \sum \frac{1}{x} +\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$
=> $ xyz  \geq \sum \frac{1}{x} +\sum \sqrt{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})}$
=> $xyz \geq \sum \frac{1}{x} +\sum \sqrt{\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{x^2}}$

=>$xyz \geq \sum \frac{1}{x} +\sum \sqrt{\frac{1}{x^2} +1}$
=> $Dpcm$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 12-07-2016 - 15:02

[Baoriven]

Lời giải khác:

Theo giả thiết tồn tại 3 góc tam giác ABC thỏa mãn: $x=tanA;y=tanB;z=tanC$.

Ta có: $\dfrac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} = \dfrac{{1 + \sqrt {1 + {{\tan }^2}A} }}{{\tan A}} = \dfrac{{1 + \dfrac{1}{{\cos A}}}}{{\dfrac{{\sin A}}{{\cos A}}}} = \dfrac{{\cos A + 1}}{{\sin A}} = \cot \dfrac{A}{2}$.

Tương tự ta có: $\dfrac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} = \cot \dfrac{B}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {1 + {z^2}} }}{z} = \cot \dfrac{C}{2}$.

Khi đó: $VT = \cot \dfrac{A}{2} + \cot \dfrac{B}{2} + \cot \dfrac{C}{2} \le 3\sqrt 3  \le \tan A.\tan B.\tan C = VP$.

BĐT đã được cm.

[KietLW9]

Ta có: $x+y+z=xyz\Rightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Rightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Rightarrow x^2+1=\frac{x^2+xy+yz+zx}{yz}=\frac{(x+y)(x+z)}{yz}$

$\Rightarrow \frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}=\frac{1+\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{yz}}}{x}\leq \frac{1+\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}}{x}=\frac{2+\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{x}{z})}{x}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Tương tự đối với các bất đẳng thức còn lại rồi cộng lại, ta được: $VT\leq 3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\leq \frac{(x+y+z)^2}{xyz}=xyz(q.e.d)$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-04-2021 - 12:27