Chủ đề này có 3 trả lời

[yeudiendanlamlam]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{(b+c)^2+5c^2}}+\frac{b}{\sqrt{(c+a)^2+5a^2}}+\frac{c}{\sqrt{(a+b)^2+5b^2}}\geq 1$

 

[chinh tuy binh quyen]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{(b+c)^2+5c^2}}+\frac{b}{\sqrt{(c+a)^2+5a^2}}+\frac{c}{\sqrt{(a+b)^2+5b^2}}\geq 1$

bạn ở diễn đàn à có thi phan không

[Baoriven]

Gọi P là biểu thức VT và đặt:

$S=a[(b+c)^2+5c^2]+b[(c+a)^2+5a^2]+c[(a+b)^2+5b^2]$.

Sử dụng BĐT Holder ta có: $P^2.S\geq (a+b+c)^3$.

Vậy ta chứng minh:

$(a+b+c)^3\geq S\Leftrightarrow a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\geq 0$.

BĐT cuối luôn đúng.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.

[royal1534]

Gọi P là biểu thức VT và đặt:

$S=a[(b+c)^2+5c^2]+b[(c+a)^2+5a^2]+c[(a+b)^2+5b^2]$.

Sử dụng BĐT Holder ta có: $P^2.S\geq (a+b+c)^3$.

Vậy ta chứng minh:

$(a+b+c)^3\geq S\Leftrightarrow a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\geq 0$.

BĐT cuối luôn đúng.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.

Bạn nhầm rồi thì phải. 

BĐT cần chứng minh là $(a+b+c)^3 \geq \sum a[(b+c)^2+5c^2] \leftrightarrow a^3+b^3+c^3+2(a^2b+b^2c+c^2a) \geq 3(ab^2+bc^2+ca^2)$
BĐT trên không tương đương với bđt cuối cùng của bạn !