Chủ đề này có 1 trả lời

[chanlerscofield]

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm GTLN của $M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}$

[phamngochung9a]

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm GTLN của $M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}$

 

Theo $AM-GM$, ta có:

 

$2yz+2= x^{2}+\left ( y+z \right )^{2}\geq 2x\left ( y+z \right )\\\Rightarrow yz+1\geq x\left ( y+z \right )$

 

$\Rightarrow M\leq \frac{x+y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}$

 

• Nếu $x+y+z\leq 2$ thì: $M=1-\frac{1}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\leq 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}= 1$
• Nếu $x+y+z\geq 2$ đổi biến $p,q,r$ ta có:

$M\leq \frac{p}{p+1}+\frac{1}{\frac{p\left ( 4q-p^{2} \right )}{9}+3}\\=\frac{p}{p+1}+\frac{9}{p^{3}-4p+27}$

 

Khảo sát hàm trên với $p\in \left [ \sqrt{2};2 \right ]$ ta cũng có: $M\leq 1$

 

Kết hợp cả hai trường hợp, ta đều có: $\max M=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=1 & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 14-07-2016 - 23:03