Chủ đề này có 2 trả lời

[nilll gate]

Cho abc$\geq 1$    Chứng Minh : $\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}} \leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

[tpdtthltvp]

Cho abc$\geq 1$    Chứng Minh : $\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}} \leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Áp dụng BĐT $Cauchy-schwwarz:$

$$(a^5+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+b^2+c^2)\geq (a^2+b^2+c^2)$$

Suy ra:$$\sum \frac{1}{a^5+b^2+c^2}\leq \sum \frac{\frac{1}{a}+b^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}$$

Ta chỉ cần chứng minh:

$$\sum (\frac{1}{a}+b^2+c^2)\leq 3(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq a^2+b^2+c^2$$

Kết hợp với $1\leq abc$ ta được bất đẳng thức cuối đúng.

Suy ra đpcm.

[huyqhx9]

áp dụng BđT bunhi ta có:$(a^{5}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2})\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}$

                                             suy ra:$\frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$

tương tự suy ra:$\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}= \frac{ab+bc+ac+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}= \frac{3}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyqhx9: 16-07-2016 - 09:55