Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\frac{a+b+c+\sqrt[3]{abc}}{4}\geq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3}.$$
$\frac{a+b+c+\sqrt[3]{abc}}{4}\geq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3}.$
Bắt đầu bởi O0NgocDuy0O, 16-07-2016 - 19:08
#1
Đã gửi 16-07-2016 - 19:08
O0NgocDuy0O
-
- Thành viên
-
- 760 Bài viết
Trung úy
- nguyenhongsonk612 yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#2
Đã gửi 16-07-2016 - 20:24
royal1534
-
- Điều hành viên THCS
-
- 773 Bài viết
Trung úy
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\frac{a+b+c+\sqrt[3]{abc}}{4}\geq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3}.$$
Đặt $\sqrt[3]{a}=x,\sqrt[3]{b}=y,\sqrt[3]{c}=z$
Ta cần chứng minh: $3(a^3+b^3+c^3+abc) \geq 4ab\sqrt{ab}+4bc\sqrt{bc}+4ca\sqrt{ca}$
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM. Áp dụng liên tục 2 bđt sau:
1.$ a^3+b^3 \geq ab(a+b) \geq 2ab\sqrt{ab} $
Tương tự $\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3) \geq 2ab\sqrt{ab}+2bc\sqrt{bc}+2ca\sqrt{ca}$
2.$ a^3+b^3+c^3+3abc \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c) \geq 2ab\sqrt{ab}+2bc\sqrt{bc}+2ca\sqrt{ca}$ (BĐT Schur)
Cộng 2 bất đẳng thức vừa tìm được ta có đpcm. Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 16-07-2016 - 20:24
- nguyenhongsonk612, O0NgocDuy0O và leminhnghiatt thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
