Chủ đề này có 2 trả lời

[dungxibo123]

cho $abc=1$ và a,b,c>0 

S=$\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}} +\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

[nguyenhongsonk612]

cho $abc=1$ và a,b,c>0 

S=$\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}} +\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Bài này là bài trá hình của một bài toán nào đấy

Giải:

$abc=1$ nên ta có thể đổi biến $(a;b;c)\rightarrow \begin{pmatrix} \frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x} \end{pmatrix}$

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{y^2}{x^2+y^2}}+\sqrt{\frac{z^2}{z^2+y^2}}+\sqrt{\frac{x^2}{x^2+z^2}} \end{pmatrix}^2\leqslant \frac{9}{2}$

Đặt $a=x^2;b=y^2;c=z^2$ 

BĐT $\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{a}{a+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}} \end{pmatrix}^2\leqslant \frac{9}{2}$

Áp dụng Bunhiacopxki ta được 

$VT=\sum \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{a(b+c)}{(a+c)(b+c)}} \end{pmatrix}^2\leqslant 2(ab+bc+ca).\frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\frac{9}{2}=VP$

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

[nilll gate]

Thực sự rất lười đánh :

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nilll gate: 17-07-2016 - 22:25