Chủ đề này có 4 trả lời

[la oi dung bay]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $abc\geq \frac{1}{27}$.Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}+bc}{a+b}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{c+a}\geq 1$

[nguyenduy287]

Giả sử $a\geq b\geq c=>a^2\geq b^2\geq c^2,\frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b}$ là 2 dãy đơn điệu cùng chiều nên theo bất đẳng thức hoán vị ta có :

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{a+b}<=>\frac{a^2+bc}{b+c}+\frac{b^2+ca}{c+a}+\frac{c^2+ab}{a+b}\geq \frac{b^2+bc}{b+c}+\frac{c^2+ca}{c+a}+\frac{a^2+ab}{a+b}=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=1$

Đây là đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenduy287: 18-07-2016 - 11:00

[nguyengoldz]

Giả sử $a\geq b\geq c=>a^2\geq b^2\geq c^2,\frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b}$ là 2 dãy đơn điệu cùng chiều nên theo bất đẳng thức hoán vị ta có :

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{a+b}<=>\frac{a^2+bc}{b+c}+\frac{b^2+ca}{c+a}+\frac{c^2+ab}{a+b}\geq \frac{b^2+bc}{b+c}+\frac{c^2+ca}{c+a}+\frac{a^2+ab}{a+b}=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=1$

Đây là đpcm

bạn xem lại chỗ này đi

[nguyenduy287]

bạn xem lại chỗ này đi

Sai chỗ nào vậy bạn

[nguyengoldz]

là $\sum \frac{a^2+bc}{a+b}$ chứ không phải là $\sum \frac{a^2+bc}{b+c}$
bạn bị nhầm rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyengoldz: 18-07-2016 - 14:27