Chủ đề này có 3 trả lời

[JayVuTF]

Cho $x,y > 0$ thỏa mãn $x+y=2016$. Tìm Min : 

$$P = \sqrt{5x^2+xy+3y^2}+ \sqrt{3x^2+xy+5y^2}+\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+xy+y^2}$$

[royal1534]

Ta chứng minh được một loạt các bđt sau bằng biến đổi tương đương:

$\sqrt{5x^2+xy+3y^2} \geq \frac{7y+11x}{6} \Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0$

$\sqrt{3x^2+xy+5y^2} \geq \frac{7x+11y}{6} \Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0$

Tương tự : $\sqrt{x^2+xy+2y^2} \geq \frac{3x+5y}{4}$

                   $\sqrt{2x^2+xy+y^2} \geq \frac{5x+3y}{4}$

Cộng các bất đẳng thức vừa tim được ta có

$VT \geq \frac{7x+11y+11x+7y}{6}+\frac{3x+5y+5x+3y}{4}=5(x+y)=5.2016=10080$

Dấu '=' xảy ra khi $x=y=1008$

[Math Master]

Ta chứng minh được một loạt các bđt sau bằng biến đổi tương đương:

$\sqrt{5x^2+xy+3y^2} \geq \frac{7y+11x}{6} \Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0$

$\sqrt{3x^2+xy+5y^2} \geq \frac{7x+11y}{6} \Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0$

Tương tự : $\sqrt{x^2+xy+2y^2} \geq \frac{3x+5y}{4}$

                   $\sqrt{2x^2+xy+y^2} \geq \frac{5x+3y}{4}$

Cộng các bất đẳng thức vừa tim được ta có

$VT \geq \frac{7x+11y+11x+7y}{6}+\frac{3x+5y+5x+3y}{4}=5(x+y)=5.2016=10080$

Dấu '=' xảy ra khi $x=y=1008$

Phương pháp gì để đoán được lượng đại diện vậy anh

[royal1534]

Phương pháp gì để đoán được lượng đại diện vậy anh

Em sử dụng công thức tổng quát sau:

$ma^2+nb^2+pab=\frac{4mn-p^2}{4(m+n+p)}(a-b)^2+\frac{[a(2m+p)+b(2n+p)]^2}{4(m+n+p)}.$

Từ đó có thể làm trội lên vì $(a-b)^2 \geq 0$ 

-------------
Bài trên có thể dùng bđt Mincopxki giải tự nhiên hơn