5 replies to this topic

[Baoriven]

Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:

$\frac{{{a^2} + bc}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + ca}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + ab}}{{a + b}} \ge \sqrt {3({a^2} + {b^2} + {c^2})}$

 

Nguồn: AoPS

[tay du ki]

Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:

$\frac{{{a^2} + bc}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + ca}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + ab}}{{a + b}} \ge \sqrt {3({a^2} + {b^2} + {c^2})}$

Nguồn: AoPS

bạn có thể cho mình xin Link Aops được không

[Namthemaster1234]

Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:

$\frac{{{a^2} + bc}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + ca}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + ab}}{{a + b}} \ge \sqrt {3({a^2} + {b^2} + {c^2})}$

 

Nguồn: AoPS

 

Ta giả sử $a \geq b \geq c$

 

$\sum \frac{a^2+bc}{b+c} \geq \sum \frac{a^2}{b+c}+\sum \frac{b+c}{4}$

 

Khi đó áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ cho 2 dãy đơn điệu tăng ta có:

 

$3(\sum \frac{a^2}{b+c}) \geq (\sum a^2)(\sum \frac{1}{b+c}) \geq \frac{9(\sum a^2)}{2(a+b+c)}$

 

Suy ra $\frac{a^2}{b+c}+\sum \frac{b+c}{4} \geq \frac{3(\sum a^2)}{2(a+b+c)}+\frac{a+b+c}{2}$

 

Mà theo $Cauchy$ thì $\frac{3(\sum a^2)}{2(a+b+c)}+\frac{a+b+c}{2} \geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

 

Điều phải chứng minh

Edited by Namthemaster1234, 22-07-2016 - 15:50.

[foollock holmes]

Ta giả sử $a \geq b \geq c$

 

$\sum \frac{a^2+bc}{b+c} \geq \sum \frac{a^2}{b+c}+\sum \frac{b+c}{4}$

 

chỗ này mình nghĩ là $\leq $ mới đúng chứ nhỉ

[Namthemaster1234]

chỗ này mình nghĩ là $\leq $ mới đúng chứ nhỉ

 

à mình nhầm

[Namthemaster1234]

Có lẽ xuất phát từ đẳng thức này: $\sum \frac{(a^2+bc)(b^2+ac)}{(a+c)(b+c)}=a^2+b^2+c^2$