Chủ đề này có 5 trả lời

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^{3}+y^{3}=xy\sqrt{2(x^{2}+y^{2}}) \\ (x\sqrt{y})^{2}+\frac{\sqrt{68}}{x^{2}y}=\frac{15}{x} \end{cases}$

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^{3}+y^{3}=xy\sqrt{2(x^{2}+y^{2}}) \\ (x\sqrt{y})^{2}+\frac{\sqrt{68}}{x^{2}y}=\frac{15}{x} \end{cases}$

Ta có: $PT(1)\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}-xy(x+y)=xy(\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}-x-y)\Leftrightarrow (x+y)(x-y)^{2}=\frac{xy(x-y)^{2}}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x+y}\Leftrightarrow (x-y)^{2}(x+y-\frac{xy}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x+y})\Leftrightarrow (x-y)^{2}(\frac{(x+y)\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x^{2}+xy+y^{2})}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x+y})=0\Leftrightarrow x=y$

Thay vào phương trình 2 ta tìm được nghiệm.

[An Infinitesimal]

Ta có: $PT(1)\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}-xy(x+y)=xy(\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}-x-y)\Leftrightarrow (x+y)(x-y)^{2}=\frac{xy(x-y)^{2}}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x+y}\Leftrightarrow (x-y)^{2}(x+y-\frac{xy}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x+y})\Leftrightarrow (x-y)^{2}(\frac{(x+y)\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x^{2}+xy+y^{2})}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x+y})=0\Leftrightarrow x=y$

Thay vào phương trình 2 ta tìm được nghiệm.

Chỉ mỗi phương trình thứ nhất có đủ thu được $x=y$ hay không?

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Ta có: $PT(1)\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}-xy(x+y)=xy(\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}-x-y)\Leftrightarrow (x+y)(x-y)^{2}=\frac{xy(x-y)^{2}}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x+y}\Leftrightarrow (x-y)^{2}(x+y-\frac{xy}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x+y})\Leftrightarrow (x-y)^{2}(\frac{(x+y)\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x^{2}+xy+y^{2})}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x+y})=0\Leftrightarrow x=y$

Thay vào phương trình 2 ta tìm được nghiệm.

Mình nghĩ pt (1) có thể dùng BĐT để đánh giá và thu được $x=y$

nhưng mà mắc cái khi thay zô pt (2) thì bế tắc 

bạn xử nốt giúm mk đc hem? thanks bạn nhìu 

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Chỉ mỗi phương trình thứ nhất có đủ thu được $x=y$ hay không?

à phải cần theo pt 2 có x,y>0 nữa thì mới có x=y.hihi

[An Infinitesimal]

à phải cần theo pt 2 có x,y>0 nữa thì mới có x=y.hihi

 

OK

Mình nghĩ pt (1) có thể dùng BĐT để đánh giá và thu được $x=y$

nhưng mà mắc cái khi thay zô pt (2) thì bế tắc 

bạn xử nốt giúm mk đc hem? thanks bạn nhìu 

 

Phần tiếp theo $x^3+ \frac{2\sqrt{17}}{x^3}= \frac{15}{x},$ với $x>0.$

Mình không thích điều mà mình sẽ viết. Một phương pháp không tự nhiên (tức là không dễ thấy từ phương trình dẫn đến việc lựa chọn phương pháp): phương pháp hằng số biến thiên.

Ở phương pháp này, người ta thường đặt hằng số chứa căn như một ẩn và "cố chuyển" phương trình về ẩn mới này (ẩn thực sự như một tham số).

Đặt $a= \sqrt{17}>0.$ Lưu ý: $15=a^2-2$.

Do đó, ta có phương trình bậc hai theo $a$:

\[\frac{a^2}{x}-\frac{2a}{x^3}-\frac{2}{x}-x^3=0.\]

$\Delta^{'}_a= \left(\frac{1}{x^3}+x\right)^2.$

Do đó

\[a= \frac{\frac{2}{x^3}+x}{ \frac{1}{x}}=\frac{2}{x^2}+x^2.\]

Do đó hệ chỉ có nghiệm hai nghiệm sau $x=y = \sqrt{\frac{\sqrt{17}\pm \sqrt{15}}{2}}.$