Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyen Van Luc]

Cho $a<b<c$ là ba nghiệm của phương trình $x^3-3x+1=0$. Chứng minh rằng:

$a^2-c=b^2-a=c^2-b=2$.

[thinhrost1]

Cho $a<b<c$ là ba nghiệm của phương trình $x^3-3x+1=0$. Chứng minh rằng:

$a^2-c=b^2-a=c^2-b=2$.

Đặt $x=2cost$ $(t \in [0;\pi])$, thay vào phương trình:

 

$4cos^3t-3cost=\frac{-1}{2} \Leftrightarrow cos3t=-\frac{1}{2}$

 

Tính được các nghiệm $c=2cos\frac{2 \pi}{9},b=2cos\frac{4 \pi}{9},c=2cos\frac{8 \pi}{9}$

 

$c^2-b=2(2cos^2\frac{8 \pi}{9}-cos\frac{4 \pi}{9})=2(cos\frac{4 \pi}{9}+1-cos\frac{4 \pi}{9})=2$

 

Tương tự với $a^2-c,b^2-a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 01-08-2016 - 19:15

[L Lawliet]

Đặt $x=2cost$ $(t \in [0;\pi])$, thay vào phương trình:

 

$4cos^3t-3cost=\frac{-1}{2} \Leftrightarrow cos3t=-\frac{1}{2}$

 

Tính được các nghiệm $c=2cos\frac{2 \pi}{9},b=2cos\frac{4 \pi}{9},c=2cos\frac{8 \pi}{9}$

 

$c^2-b=2(2cos^2\frac{8 \pi}{9}-cos\frac{4 \pi}{9})=2(cos\frac{4 \pi}{9}+1-cos\frac{4 \pi}{9})=2$

 

Tương tự với $a^2-c,b^2-a$

Lời giải của bạn muốn hoàn chỉnh thì phải chứng minh thêm phương trình có nghiệm thuộc đoạn $\left ( -2;2 \right )$ mới có thể đặt $x=2\cos t$ như vậy được.

Xét hàm $f\left ( x \right )=x^{3}-3x+1$, dễ thấy $f\left ( x \right )$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Ta dễ dàng chứng minh được hàm số trên đồng biến trên đoạn $\left ( -2;2 \right )$.

Mà $f\left ( -2 \right )=-1<0$, $f\left ( 0 \right )=1>0$, $f\left ( 1 \right )=-1<0$ và $f\left ( 2 \right )=3$.

Mặt khác $f\left ( -2 \right ).f\left ( 0 \right )<0$, $f\left ( 0 \right ).f\left ( 1 \right )$ và $f\left ( 1 \right ).f\left ( 2 \right )<0$ nên hàm số có nghiệm trong các khoảng $\left ( -2;0 \right )$, $\left ( 0;1 \right )$, $\left ( 1;2 \right )$.

Mà $f\left ( x \right )$ là hàm bậc ba nên nghiệm của phương trình $f\left ( x \right )=0$ nằm trong đoạn $\left ( -2;2 \right )$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 01-08-2016 - 20:10

[thinhrost1]

Cách khác

 

Giả sử a là một nghiệm của phương trình thì:

 

$a^3-3a=-1$

Bình phương hai vế:

$a^6-6a^4+9a^2=1 $

 

Suy ra $a^2$ là nghiệm của phương trình $x^3-6x^2+9x-1=0$ hay $a^2-2$ là nghiệm của phương trình $(x+2)^3-6(x+2)^2+9(x+2)-1=x^3-3x+1=0$

 

Tương tự cho b, c.

 

Kết hợp với $a<b<c$ Suy ra: $a^2-2=c,c^2-2=b,c=a^2-2$

[Nguyen Van Luc]

Lời giải của bạn muốn hoàn chỉnh thì phải chứng minh thêm phương trình có nghiệm thuộc đoạn $\left ( -2;2 \right )$ mới có thể đặt $x=2\cos t$ như vậy được.

Xét hàm $f\left ( x \right )=x^{3}-3x+1$, dễ thấy $f\left ( x \right )$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Ta dễ dàng chứng minh được hàm số trên đồng biến trên đoạn $\left ( -2;2 \right )$.

Mà $f\left ( -2 \right )=-1<0$, $f\left ( 0 \right )=1>0$, $f\left ( 1 \right )=-1<0$ và $f\left ( 2 \right )=3$.

Mặt khác $f\left ( -2 \right ).f\left ( 0 \right )<0$, $f\left ( 0 \right ).f\left ( 1 \right )$ và $f\left ( 1 \right ).f\left ( 2 \right )<0$ nên hàm số có nghiệm trong các khoảng $\left ( -2;0 \right )$, $\left ( 0;1 \right )$, $\left ( 1;2 \right )$.

Mà $f\left ( x \right )$ là hàm bậc ba nên nghiệm của phương trình $f\left ( x \right )=0$ nằm trong đoạn $\left ( -2;2 \right )$.

Cảm ơn hai bạn nhé. Phần đầu, cách đặt của bạn thinhrost1  mình hiểu được mà.