Chủ đề này có 2 trả lời

[SuPeR NaM]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I) và ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác, K là trung điểm của AH. Đường thẳng qua K vuông góc với BK cắt AC tại P, AH cắt đường tròn (I) tại E. Gọi D là điểm đối xứng với A qua I, BO cắt đường tròn (I) tại F, AF cắt CD tại J. CMR

1/ AOCJ nội tiếp

2/ BE vuông góc với EP

3/ PI là đường trung trực của AE

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SuPeR NaM: 07-08-2016 - 22:28

[vkhoa]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I) và ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác, K là trung điểm của AH. Đường thẳng qua K vuông góc với BK cắt AC tại P, AH cắt đường tròn (I) tại E. Gọi D là điểm đối xứng với A qua I, BO cắt đường tròn (I) tại F, AF cắt CD tại J. CMR

1/ AOCJ nội tiếp

2/ BE vuông góc với EP

3/ PI là đường trung trực của AE

1)
BH cắt AC tại G, AC và DF cắt nhau tại L
Ta có FLJC nội tiếp
$\Rightarrow\widehat{AJC} =\widehat{ALF}$
=$\frac12$(số đo cung AF +số đo cung CD)
=$\frac12$(số đo cung CF +số đo cung CD)
$=\widehat{FAD}$
$\Rightarrow ADJ$ cân tại D
$\Rightarrow F$ là trung điểm AJ
$\Rightarrow FA =FJ =FC$ (1)
có $\widehat{FOC} =\widehat{FBC} +\widehat{OCB}$
$=\widehat{FBA} +\widehat{OCA}$
$=\widehat{FCA} +\widehat{OCA} =\widehat{FCO}$
$\Rightarrow FO =FC$ (2)
từ (1, 2)$\Rightarrow AJCO$ nội tiếp đường tròn tâm F
2)
có $\widehat{KPB} =\widehat{KGB}$ (vì BKGP nội tiếp)
$=\widehat{AHG} =\widehat{ACB} =\widehat{KEB}$
$\Rightarrow BKPE$ nội tiếp
$\Rightarrow\widehat{BEP} =90^\circ$
3)
có IA =IE (3)
có $\widehat{PEA} =\widehat{PBK} =90^\circ -\widehat{KPB}$
$=90^\circ -\widehat{ACB}$ (theo cminh trên)
$=\widehat{PAE}$
$\Rightarrow PA =PE$ (4)
từ (3, 4)$\Rightarrow PI$ là trung trực của AE

Hình gửi kèm

• 

[SuPeR NaM]

1)
BH cắt AC tại G, AC và DF cắt nhau tại L
Ta có FLJC nội tiếp
$\Rightarrow\widehat{AJC} =\widehat{ALF}$
=$\frac12$(số đo cung AF +số đo cung CD)
=$\frac12$(số đo cung CF +số đo cung CD)
$=\widehat{FAD}$
$\Rightarrow ADJ$ cân tại D
$\Rightarrow F$ là trung điểm AJ
$\Rightarrow FA =FJ =FC$ (1)
có $\widehat{FOC} =\widehat{FBC} +\widehat{OCB}$
$=\widehat{FBA} +\widehat{OCA}$
$=\widehat{FCA} +\widehat{OCA} =\widehat{FCO}$
$\Rightarrow FO =FC$ (2)
từ (1, 2)$\Rightarrow AJCO$ nội tiếp đường tròn tâm F
2)
có $\widehat{KPB} =\widehat{KGB}$ (vì BKGP nội tiếp)
$=\widehat{AHG} =\widehat{ACB} =\widehat{KEB}$
$\Rightarrow BKPE$ nội tiếp
$\Rightarrow\widehat{BEP} =90^\circ$
3)
có IA =IE (3)
có $\widehat{PEA} =\widehat{PBK} =90^\circ -\widehat{KPB}$
$=90^\circ -\widehat{ACB}$ (theo cminh trên)
$=\widehat{PAE}$
$\Rightarrow PA =PE$ (4)
từ (3, 4)$\Rightarrow PI$ là trung trực của AE

Tớ làm được rồi nhưng dù sao cũng cảm ơn bạn =))