Chủ đề này có 4 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán. Giải phương trình:

$$\sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x+1}=x^{2}+8$$

Không biết đề có sai không mà xài wolfram là vô nghiệm  nếu đúng vậy thì quy bài toán về chứng minh vô nghiệm hoặc luôn dương (âm) gì đó vậy :-s

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 12-08-2016 - 18:06

[leminhnghiatt]

Bài toán. Giải phương trình:

$$\sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x+1}=x^{2}+8$$

Không biết đề có sai không mà xài wolfram là vô nghiệm  nếu đúng vậy thì quy bài toán về chứng minh vô nghiệm hoặc luôn dương (âm) gì đó vậy :-s

ĐK: $x \geq -1$

 

$x^2+8-\sqrt[3]{x+6}-\sqrt{x+1}=0$

 

$\iff (x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{2})+(\dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{2}-\sqrt[3]{x+6})+(x+2-\sqrt{x+1})=0$

 

$\iff (x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{2})+\dfrac{(x+5)(x^2+16x+59)}{2A}+(x+1-\sqrt{x+1}+1)=0$

 

Dễ thấy $VT>0$ với mọi $x \geq -1$

 

Vậy pt vô nghiệm

[L Lawliet]

ĐK: $x \geq -1$

 

$x^2+8-\sqrt[3]{x+6}-\sqrt{x+1}=0$

 

$\iff (x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{2})+(\dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{2}-\sqrt[3]{x+6})+(x+2-\sqrt{x+1})=0$

 

$\iff (x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{2})+\dfrac{(x+5)(x^2+16x+59)}{2A}+(x+1-\sqrt{x+1}+1)=0$

 

Dễ thấy $VT>0$ với mọi $x \geq -1$

 

Vậy pt vô nghiệm

Bạn cho mình biết ý tưởng tách với được không :-s

[leminhnghiatt]

Bạn cho mình biết ý tưởng tách với được không :-s

 

Ý tưởng đơn giản lắm ak, do hệ số tự do là 8 nên ta cứ tách thoải mái cho $x+2-\sqrt{x+1}$ là luôn dương

 

Còn vế $-\sqrt[3]{x+6}$ thì cho nghiệm $x=-5$ để nguyên và thỏa mãn nó dương với $x \ge -1$  và chọn lượng liên hợp là $\dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{2}$ 

 

Và còn lại là $x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{2}>0$ với mọi số...

[An Infinitesimal]

Bài toán. Giải phương trình:

$$\sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x+1}=x^{2}+8$$

Không biết đề có sai không mà xài wolfram là vô nghiệm  nếu đúng vậy thì quy bài toán về chứng minh vô nghiệm hoặc luôn dương (âm) gì đó vậy :-s

 

Một hướng tiếp cận -"đơn giản những thứ phức tạp"- bằng cách thay thế nó bằng những đại lượng đơn giản hơn.

Với $x\ge -1$, dùng BĐT Cauchy cho 3 số và 2 số để xử lý $\sqrt[3]{x+6}$ và $\sqrt{x+1}$:

\[\sqrt[3]{x+6} \le \frac{x+8}{3},\]

\[\sqrt{x+1}\le \frac{x+2}{2}.\]

Hơn nữa

\[\frac{x+8}{3}+ \frac{x+2}{2}<x^2+8.\]