Chủ đề này có 6 trả lời

[QUANVU]

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K=\mathbb{F}_q,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K.

a)Chứng tỏ rằng http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?V đến http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?V.

b)Chứng minh rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi là song ánh.

c)Chứng minh rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi không phải là song cấu xạ.

d)Chứng minh rằng .

Mọi người giải chi tiết giúp tôi nhé!

[toilachinhtoi]

Hình như bài này được giải thích khá chi tiết trong cuốn sách của Hartshorne.

[QUANVU]

Hình như bài này được giải thích khá chi tiết trong cuốn sách của Hartshorne.

Nếu có chắc nó ở chương I ,nhưng tôi tìm có thấy đâu?

[toilachinhtoi]

Ừ, có bài tập 3.2 hơi giống nên tôi tưởng lầm.

Tôi thử ghi lời giải dưới đây (chẳng biết chính xác hay không).

Đa tạp của bạn có phải có nghĩa là projective variety?

Đề của bạn có phải là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?V=\{z:~f_k(z)=0\} với http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_k là một họ các đa thức thuần nhất có hệ số trong http://dientuvietnam...etex.cgi?K=F_q?

a) Xét một điểm http://dientuvietnam...[X_0^q:..._n^q]=f[X_0:..._n]^q=0 do đó http://dientuvietnam...x.cgi?x_i=y_i^q vì k là trường đóng đại số với đặc trưng k. Do đó với mỗi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(y)^q=f(x)=0 do đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi là song ánh.

c) Ta có thể giả sử tồn tại một điểm trong http://dientuvietnam...metex.cgi?X_j=0 và ta có thể giải quyết trường hợp này bằng quy nạp.

Bây giờ giả sử http://dientuvietnam...g_0(X_0,...,X_n),...,g_n(X_0,...,X_n) sao cho http://dientuvietnam...g_0(X_0,...,X_n)^q:...:g_n^q(X_0,...,X_n)]=[X-0:X_1:..._n] (nghĩa là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?[g_0:g_1:...:g_n] là hàm ngược của f). Vì trong lân cận này của p thì tất cả http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_0,...,X_n khác 0 nên ta có thể dùng bất kì trong các tọa độ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?[X_0/X_i,...,X_n/X_i] với i=0,1,2,..,n.

Bây giờ xét trong lân cận này ta được chẳng hạn với tọa độ X_i/X_0:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g_i(1,X_1/X_0,...,X_n/X_0)^q/g_0(1,X_1/X_0,...,X_n/X_0)^q=X_j/X_0. Như vậy tồn tại những đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g_i(1,X_1,X_2,...,X_n)^q-(X_i/X_0)g_i(1,X_1,X_2,...,X_n)^q=f(1,X_1/X_0,...,X_n/X_0). Thuần nhất hóa trở lại ta được
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_0g_i(1,X_1,X_2,...,X_n)^q-X_ig_i(1,X_1,X_2,...,X_n)^q=X_0X_0^{-d}f(X_0,X_1,...,X_n) với d là bậc của f tương ứng với các biến X_1,...,X_n. Do vế bên trái là một đa thức ta suy ra d=1. Như vậy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_0g_i(1,X_1,X_2,...,X_n)^q-X_ig_i(1,X_1,X_2,...,X_n)^q có bậc 1 hay 0 theo các biến http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_1,...,X_n.

Lí luận tương tự ta cũng có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_0g_i(1,X_1,X_2,...,X_n)^q-X_ig_i(1,X_1,X_2,...,X_n)^q có bậc 1 hay 0 theo các biến http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_0,X_2,...,X_n. Vậy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_0g_i(1,X_1,X_2,...,X_n)^q-X_ig_i(1,X_1,X_2,...,X_n)^q có bậc 1 hay 0 theo tất cả các biến http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_0,X_1,...,X_n. Nhưng ta lại có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_0g_i(1,X_1,X_2,...,X_n)^q-X_ig_i(1,X_1,X_2,...,X_n)^q thuần nhất bậc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_i\not=0 thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(X_j/X_i)^{q}=X_j/X_i do đó .

[QUANVU]

Cảm ơn bạn rất nhiều.Để mình xem từ từ nhé,ở nhà không có máy tính,toàn ra quán thôi.

b) Theo định lý Frobenius, với mỗi http://dientuvietnam...x.cgi?x_i=y_i^q vì k là trường đóng đại số với đặc trưng k. Do đó với mỗi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(y)^q=f(x)=0 do đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi là song ánh.

Ở cái đoạn này http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k của bạn là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\overline{K} phải không?
Xin lỗi nếu mình hỏi linh tinh Chúng ta cứ giúp nhau từ những cái nhỏ này đã

[toilachinhtoi]

To quanvu: k là bao đóng đại số của K. (không biết có đúng đề của bạn không)?
Câu b là đơn giản: Phương trình http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^q=\alpha với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=\beta.

Câu c thì lời giải của tôi không đúng. Sorry. Nhưng trong trường hợp http://dientuvietnam...metex.cgi?V=P^n thì có thể chứng minh như sau:

Ta xét trong miền http://dientuvietnam...cgi?t_i=x_i/x_0, lí luận như lời giải đã post, ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g_j^q(1,x_1/x_0,...,x_n/x_0)-(x_j/x_0)g_0^q(1,x_1/x_0,...,x_n/x_0)=h_j(1,x_1/x_0,...,x_n/x_0) hay
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g_j^q(1,t_1,...,t_n)-t_jg_0^q(1,t_1,...,t_n)=h_j(1,t_1,...,t_n).
Lấy đạo hàm đẳng thức trên theo từng biến t_i ta kết luận rằng
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?h_j có dạng
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_k(***) là một đơn thức (monomial) bậc k của các biến http://dientuvietnam...cgi?t_1,...,t_n và bậc của http://dientuvietnam...tex.cgi?a_k(t_j) nhỏ hơn q.
Thế (***) vào (**) suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{da_k(t_j)}{dt_j}=-t_j do đó nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?q=2 thì ta giải xong bài toán (****), còn nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?q>2 thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_k(t_i)=\dfrac{t_i^2}{2}+c_k.

Thế (**) và (***) vào ta được
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t_j và các đơn thức B_k phụ thuộc ít nhất một trong các biến http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g_j(1,t_1,...,t_n)^q=t_j^2/2+c_0 với mọi j=1,2,...,n. Vì trường hợp q=2 ta đã loại ở (****) nên ở đây q>2 và so sánh bậc của 2 đa thức suy ra mâu thuẫn.

2) Tồn tại j sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g_j(1,t_1,...,t_n)=0 sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g_j ta phải có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P^k với một vài k nào đó (xem Hartshorne). Khi đó các hàm h_j được dùng là bội của cùng một hàm h.

PS. Bạn đang là GV trung học à?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 09-06-2006 - 18:47

[toilachinhtoi]

Sorry, lần trước trình bày lộn xộn.

Nếu http://dientuvietnam...metex.cgi?V=P^n và http://dientuvietnam...x_0,...,x_n/x_0)-(x_j/x_0)g_0^{q}(1,x_1/x_0,...,x_n/x_0)=0. Do đó lấy đạo hàm theo http://dientuvietnam...cgi?t_j=x_j/x_0 được http://dientuvietnam...x_0,...,x_n/x_0)=0 vô lí.

Bạn có thể phát biểu lại chính xác đề câu c) được không? Vì tôi thấy nếu http://dientuvietnam...x.cgi?V=K^{n 1}, ở đây http://dientuvietnam...mimetex.cgi?I(V)=\{x_j^qx_i-x_ix_j^q\},i,j=0,...,n thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi là song cấu xạ.