Chủ đề này có 2 trả lời

[nuoccam]

Tính A = $1.C_n^1+2.C_n^2+...+n.C_n^n$

[L Lawliet]

Tính A = $1.C_n^1+2.C_n^2+...+n.C_n^n$

Giải tương tự bài này nhưng dừng ở bước đạo hàm thứ nhất:

Tính tổng $S= 1^2 . C^1 _n + 2^2.C^2_n+3^2.C^2_n+...+ n^2.C^n _n$

Lời giải.

Ta có:

$\left ( 1+x \right )^{n}=C^{0}_{n}+C^{1}_{n}x+C^{2}_{n}x^{2}+...+C^{n}_{n}x^{n}$

Đạo hàm hai vế ta được:

$n\left ( 1+x \right )^{n-1}=C^{1}_{n}+2xC^{2}_{n}+...+nx^{n-1}C^{n}_{n}$

Nhân hai vế với $2$ rồi đạo hàm một lần nữa ta được:

$n\left ( 1+x \right )^{n-1}+n\left ( n-1 \right )x\left ( 1+x \right )^{n-2}=C^{1}_{n}+2^{2}xC^{2}_{n}+...+n^{2}x^{n-1}C^{n}_{n}$

Thay $x=1$ ta được:

$2^{n-1}n+n\left ( n-1 \right )2^{n-2}=A$

[VODANH9X]

Tính A = $1.C_n^1+2.C_n^2+...+n.C_n^n$

Xét $(x+1)^{n}=C_n^0+x.C_n^1+x^{2}.C_n^2+...+x^{n}.C_n^n$

Lấy đạo hàm 2 vế thay $x=1$ ta được kết quả $A=n.2^{n-1}$