Chủ đề này có 1 trả lời

[Daran Nguyen]

Chứng minh rằng: $$(C_{n}^{0})^{^{2}} + (C_{n}^{1})^{^{2}} + (C_{n}^{2})^{^{2}} +...+ (C_{n}^{n})^{^{2}} = C_{2n}^{n}$$

[VODANH9X]

Chứng minh rằng: $$(C_{n}^{0})^{^{2}} + (C_{n}^{1})^{^{2}} + (C_{n}^{2})^{^{2}} +...+ (C_{n}^{n})^{^{2}} = C_{2n}^{n}$$

Bài này không khó nhưng phải biết.

Xét $(x+1)^{2n}=C_{2n}^{0}+xC_{2n}^{1}+...+x^{n}C_{2n}^{n}+...+x^{2n}C_{2n}^{2n}$

Hệ số của $x^{n}$ là $C_{2n}^{n}$

Ta lại có $(x+1)^{2n}=(x+1)^{n}(x+1)^{n}=(C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+...+x^{n}C_{n}^{n})(x^{n}C_{n}^{0}+x^{n-1}C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n})$

Khai triển ra ta được hệ số của $x^{n}$ là $(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+...+(C_{n}^{n})^{2}$

Suy ra $(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+...+(C_{n}^{n})^{2}=C_{2n}^{n}$ đpcm