Cho 3 số x, y, $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số $\sqrt{x}; \sqrt{y}$ đều là số hữu tỉ.
* Em làm ntn:
Có $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là số hữu tỉ
=> $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=x+y+2\sqrt{xy}$ là số hữu tỉ
=> $\sqrt{xy}$ là số hữu tỉ
=> đpcm
Làm nt có lý k ạ ? Đúng hay sai ?
Cho 3 số x, y, $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số $\sqrt{x}; \sqrt{y}$ đều là số hữu tỉ.
#1
Đã gửi 17-08-2016 - 22:15
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow.
#2
Đã gửi 18-08-2016 - 09:09
Đặt $x-y=a$, $\sqrt{x}+\sqrt{y}=b(1)$thì a,b là các số hữu tỉ.
Xét hai trường hợp:
- Nếu $b\not\equiv 0$ thì $\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{a}{b}$ nên $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{a}{b}$ là số hữu tỉ. (2)
Từ (1) và (2) ta có $\sqrt{x}=\frac{1}{2}\left ( b+\frac{a}{b} \right )$ là số hữu tỉ,
$\sqrt{y}=\frac{1}{2}\left ( b-\frac{a}{b} \right )$ là số hữu tỉ.
- Nếu b=0 thì x=y=0, hiển nhiên $\sqrt{x},\sqrt{y}$ là các số hữu tỉ.
#3
Đã gửi 18-08-2016 - 11:01
Cho 3 số x, y, $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số $\sqrt{x}; \sqrt{y}$ đều là số hữu tỉ.
* Em làm ntn:
Có $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là số hữu tỉ
=> $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=x+y+2\sqrt{xy}$ là số hữu tỉ
=> $\sqrt{xy}$ là số hữu tỉ
=> đpcm
Làm nt có lý k ạ ? Đúng hay sai ?
Làm như bạn thì chưa đúng, nhưng nó cho 1 hướng giải khác. Cách bạn The Flash là hay nhất rồi.
Lời giải 2.
Nếu $x=y=0$ thì hiển nhiên đúng.
Xét $x;y\neq 0$.
TH1 : Trong hai số $x;y$ có 1 số không là bình phương của 1 số hữu tỉ hoặc cả 2 số không là bình phương của 1 số hữu tỉ.
Do đó khi khai phương $\sqrt{x};\sqrt{y}$ thì vẫn còn phần số trong dấu căn. Do đó tổng $\sqrt{x}+\sqrt{y}\notin \mathbb{Q}$, trái với giả thiết đề bài.
TH2 : Cả 2 số là bình phương của 1 số hữu tỉ. Từ đây suy ra đpcm.
#4
Đã gửi 24-08-2016 - 08:40
Cho 3 số x, y, $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số $\sqrt{x}; \sqrt{y}$ đều là số hữu tỉ.
* Em làm ntn:
Có $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là số hữu tỉ
=> $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=x+y+2\sqrt{xy}$ là số hữu tỉ
=> $\sqrt{xy}$ là số hữu tỉ
=> đpcmLàm nt có lý k ạ ? Đúng hay sai ?
Sai rồi
Đặt x-y=a, $\sqrt{x}+\sqrt{y}=b (1)$ thì câc số hữu tỉ
Xét 2 TH
TH1: Nếu b $\neq$0 thì $\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{a}{b}$ nên $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{a}{b}$ là số hữu tỉ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\sqrt{x}=\frac{1}{2}(b+\frac{a}{b})$ là số hữu tỉ
$\sqrt{y}=\frac{1}{2}(b-\frac{a}{b})$ là số hữu tỉ
TH2: Nếu b=0 thì x=y=0 hiển nhiên $\sqrt{x}, \sqrt{y}$ là số hữu tỉ
- Jinbei yêu thích
#5
Đã gửi 24-08-2016 - 15:34
Làm như bạn thì chưa đúng, nhưng nó cho 1 hướng giải khác. Cách bạn The Flash là hay nhất rồi.
Lời giải 2.
Nếu $x=y=0$ thì hiển nhiên đúng.
Xét $x;y\neq 0$.
TH1 : Trong hai số $x;y$ có 1 số không là bình phương của 1 số hữu tỉ hoặc cả 2 số không là bình phương của 1 số hữu tỉ.
Do đó khi khai phương $\sqrt{x};\sqrt{y}$ thì vẫn còn phần số trong dấu căn. Do đó tổng $\sqrt{x}+\sqrt{y}\notin \mathbb{Q}$, trái với giả thiết đề bài.
TH2 : Cả 2 số là bình phương của 1 số hữu tỉ. Từ đây suy ra đpcm.
Bài của bạn là áp dụng kiến thức lớp mấy vậy?
#6
Đã gửi 24-08-2016 - 16:08
Bài của bạn là áp dụng kiến thức lớp mấy vậy?
Bài mình chỉ là một bài tóm gọn của phản chứng thôi.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh