Chủ đề này có 1 trả lời

[anny anh]

Cho đa giác đều A₁A₂A₃...A_n nội tiếp đường tròn (O). CMR 

$\vec{OA₁}+\vec{OA₂}+\vec{OA₃}...+\vec{OA_n}=\vec{0}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anny anh: 18-08-2016 - 18:57

[Little Boy]

Cho đa giác đều A₁A₂A₃...A_n nội tiếp đường tròn (O). CMR 

$\vec{OA₁}+\vec{OA₂}+\vec{OA₃}...+\vec{OA_n}=\vec{0}$

Đặt $\vec{OA₁}+\vec{OA₂}+\vec{OA₃}...+\vec{OA_n}=A$

Kẻ đường cao OH₁,OH₂...OH_n ứng với cạnh A₁A_2,A₂A₃...A_nA₁

 

Theo qt trung điểm ta có : $\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}=2\overrightarrow{OH_{1}}$

$\overrightarrow{OA_{2}}+\overrightarrow{OA_{3}}=2\overrightarrow{OH_{2}}$

...

$\overrightarrow{OA_{n}}+\overrightarrow{OA_{1}}=2\overrightarrow{OH_{n}}$

Do đó $A=\overrightarrow{OH_{1}}+...+\overrightarrow{OH_{n}}$

Kẻ các vectơ đơn vị $\vec{e_{1}};\overrightarrow{e_{2}}...\overrightarrow{e_{n}}$ vuông góc với các cạnh A₁A₂...A_nA₁ của đa giác

Khi đó $\overrightarrow{OH_{1}}=\vec{e_{1}}.OH_{_{1}}=\frac{OH_{1}}{A_{1}A_{2}}.\vec{e_{1}}.A_{1}A_{2}$...

$A=\frac{OH_{1}}{A_{1}A_{2}}.(\vec{e_{1}}.A_{1}A_{2}+\vec{e_{2}}.A_{2}A_{3}+...+\vec{e_{n}}.A_{n}A_{1})$(vì đa giác đều)

$A=\frac{OH_{1}}{A_{1}A_{2}}.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$