Chủ đề này có 1 trả lời

[studentlovemath]

Cho ba số dương a, b, c. CMR:
$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\geq 3\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

[phamngochung9a]

Cho ba số dương a, b, c. CMR:
$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\geq 3\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Theo BĐT $AM-GM$, ta có:

 

$VT=\sum \frac{2a}{\sqrt{2a\left ( a+b \right )}}\geq \sum \frac{4a}{3a+b}\geq \frac{4\left ( a+b+c \right )^{2}}{3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+ab+bc+ca}\\= \frac{4\left [ 1+\dfrac{2\left ( ab+bc+ca \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \right ]}{3+\dfrac{\left ( ab+bc+ca \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

 

Đặt $\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=t$, ta cần chứng minh:

 

$\frac{4\left ( 1+2t^{2} \right )}{3+t^{2}}\geq 3t$ với $t\in \left ( 0;1 \right ]$

 

Thật vậy, BĐT tương đương với: $\left ( t-1 \right )\left ( 3t^{2}-5t+4 \right )\leq 0$

 

BĐT trên luôn đúng do $\left\{\begin{matrix} t\leq 1 & \\ 3t^{2}-5t+4> 0 & \end{matrix}\right.$

 

Bài toán được chứng minh $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 20-08-2016 - 11:55