Chủ đề này có 5 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} \left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+...+\left | x-2016 \right |=2033136 & \\ x^{3}-3x+2=y\sqrt{y}+3y & \end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 25-08-2016 - 15:49

[hoangvunamtan123]

Bài toán. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} \left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+...+\left | x-2016 \right |=2033136 & \\ x^{3}-3x+2=y\sqrt{y}+3y & \end{matrix}\right.$$

áp dụng quy tắc 

$\left |a \right |+\left | b \right |\geq \left | a+b \right |$

ta được phương trình 1 sẽ là $\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+....+\left | x-2016 \right | \geq \left | 2016x-2033136 \right |$

 từ đây dễ suy ra được x = 0;x=2017 thế vào phương trình cuối được $y\sqrt{y}+3y=2$ 

đặt $\sqrt{y}=a \Leftrightarrow a^3+3a^2-2=0$ rồi giải ra được a=$\sqrt{3}-1 và -1$ 

loại -1 ta được y = $(\sqrt{3}-1)^2$ 

xét x=2017 đặt căn y =m-1 phương trình tương đương với $x^3-3x+2=m^3-3m+2 \Leftrightarrow f(x)=f(m)\rightarrow x=m =2017$

suy ra căn y=2016 :V 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvunamtan123: 02-09-2016 - 06:53

[An Infinitesimal]

Phần hiển thị

 

áp dụng quy tắc 

$\left |a \right |+\left | b \right |\geq \left | a+b \right |$

ta được phương trình 1 sẽ là $\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+....+\left | x-2016 \right | \geq \left | 2016x-2033136 \right |$

 từ đây dễ suy ra được x = 0 thế vào phương trình cuối được $y\sqrt{y}+3y=2$ 

đặt $\sqrt{y}=a \Leftrightarrow a^3+3a^2-2=0$ rồi giải ra được a=$\sqrt{3}-1 và -1$ 

loại -1 ta được y = $(\sqrt{3}-1)^2$ 

áp dụng quy tắc 
$\left |a \right |+\left | b \right |\geq \left | a+b \right |$
ta được phương trình 1 sẽ là $\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+....+\left | x-2016 \right | \geq \left | 2016x-2033136 \right |$
 từ đây dễ suy ra được x = 0;x=2017 thế vào phương trình cuối được $y\sqrt{y}+3y=2$ 
đặt $\sqrt{y}=a \Leftrightarrow a^3+3a^2-2=0$ rồi giải ra được a=$\sqrt{3}-1 và -1$ 
loại -1 ta được y = $(\sqrt{3}-1)^2$ 
xét x=2017 đặt y =m-1 phương trình tương đương với $x^3-3x+2=m^3-3m+2 \Leftrightarrow f(x)=f(m)\rightarrow x=m =2017$
suy ra y=2016 :V  

Kết luận về giá trị của $x$ là sai!

 

áp dụng quy tắc 

$\left |a \right |+\left | b \right |\geq \left | a+b \right |$

ta được phương trình 1 sẽ là $\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+....+\left | x-2016 \right | \geq \left | 2016x-2033136 \right |$

 từ đây dễ suy ra được x = 0;x=2017

 

Ta chỉ có $0\le x\le 2017.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 02-09-2016 - 06:41

[hoangvunamtan123]

Phần hiển thị

áp dụng quy tắc 
$\left |a \right |+\left | b \right |\geq \left | a+b \right |$
ta được phương trình 1 sẽ là $\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+....+\left | x-2016 \right | \geq \left | 2016x-2033136 \right |$
 từ đây dễ suy ra được x = 0;x=2017 thế vào phương trình cuối được $y\sqrt{y}+3y=2$ 
đặt $\sqrt{y}=a \Leftrightarrow a^3+3a^2-2=0$ rồi giải ra được a=$\sqrt{3}-1 và -1$ 
loại -1 ta được y = $(\sqrt{3}-1)^2$ 
xét x=2017 đặt y =m-1 phương trình tương đương với $x^3-3x+2=m^3-3m+2 \Leftrightarrow f(x)=f(m)\rightarrow x=m =2017$
suy ra y=2016 :V  

Kết luận về giá trị của $x$ là sai!

 

 

Ta chỉ có $0\le x\le 2017.$

ok, đợi một chút , ta thấy các mỗi số trong dãy số này cách nhau 1 đơn vị ,nếu x khác 0 và  2017 ,ta sẽ có ít nhất 1 cặp số giống nhau   ,và dĩ nhiên số đó luôn bé hơn 2017 ,tương tự nếu có 3 số giống nhau nó sẽ luôn bé hơn 2017,2016 nên ta hoàn toàn chứng minh được tổng của nó nếu trong đó có ít nhất 1 cặp  số giống nhau thì tổng đó luôn bé hơn tổng có 2016 số hơn kém nhau 1 đơn vị này , nói hơi khó chịu bạn ghi ra thì thấy thôi :V 

[An Infinitesimal]

Dùng BĐT trị tuyệt đối, ta có

$2033136=\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+....+\left | x-2016 \right | \geq \left | 2016x-2033136 \right |,$

$$\Rightarrow 0\le x\le 2017.$$

 

Trường hợp 1:    $x\in [0,1)$ 

Phương trình thứ nhất được viết lại

\[2033136-2016x=2033136.\]

\[\iff x=0.\]

 

 

 

Trường hợp 2:   $x\in [1,2016)$

Phương trình thứ nhất được viết lại

Với mỗi $x\in [1,2016)$, tồn tại $i\in \{1, 2, ..., 2015\}$ sao cho $i\le x<i+1.$ 

PT được viết lại

\[2033136= \sum_{j=1}^{i}(x-j)+\sum_{j=i+1}^{2016}(j-x).\]

\[\iff 2033136= (2i-2016)x+2033136-i(i+1)\]

(Với $i=1008$, PT trên vô nghiệm!)

\[\iff x= \frac{i(i+1)}{(2i-2016)}.\]

Giải điều kiện $i\le \frac{i(i+1)}{(2i-2016)}<i+1.$

Điều kiện $i>2016(!!)$

Thử giải quyết theo hướng khác:

Ta có

$\left|x-i\right|+\left|x-(2017-i)\right| <  2017  \forall i=1, 2, ..., 2016.$

Do đó $VT (PT1) <VP (PT1).$

Vì vậy PT vô nghiệm trong trường hợp này.

 

Trường hợp 3:   $x\in [2016,2017])$

Phương trình thứ nhất được viết lại

\[2016x-2033136=2033136.\]

\[\iff x=2017.\]

 

 

Do đó, từ PT thứ nhất, ta có $x=0 \vee x=2017.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 02-09-2016 - 07:42

[hoangvunamtan123]

 

Dùng BĐT trị tuyệt đối, ta có

$2033136=\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+....+\left | x-2016 \right | \geq \left | 2016x-2033136 \right |,$

$$\Rightarrow 0\le x\le 2017.$$

 

Trường hợp 1:    $x\in [0,1)$ 

Phương trình thứ nhất được viết lại

\[2033136-2016x=2033136.\]

\[\iff x=0.\]

 

 

 

Trường hợp 2:   $x\in [1,2016)$

Phương trình thứ nhất được viết lại

Với mỗi $x\in [1,2016)$, tồn tại $i\in \{1, 2, ..., 2015\}$ sao cho $i\le x<i+1.$ 

PT được viết lại

\[2033136= \sum_{j=1}^{i}(x-j)+\sum_{j=i+1}^{2016}(j-x).\]

\[\iff 2033136= (2i-2016)x+2033136-i(i+1)\]

(Với $i=1008$, PT trên vô nghiệm!)

\[\iff x= \frac{i(i+1)}{(2i-2016)}.\]

Giải điều kiện $i\le \frac{i(i+1)}{(2i-2016)}<i+1.$

Điều kiện $i>2016(!!)$

Thử giải quyết theo hướng khác:

Ta có

$\left|x-i\right|+\left|x-(2017-i)\right| <  2017  \forall i=1, 2, ..., 2016.$

Do đó $VT (PT1) <VP (PT1).$

Vì vậy PT vô nghiệm trong trường hợp này.

 

Trường hợp 3:   $x\in [2016,2017])$

Phương trình thứ nhất được viết lại

\[2016x-2033136=2033136.\]

\[\iff x=2017.\]

 

 

Do đó, từ PT thứ nhất, ta có $x=0 \vee x=2017.$

 

(Y) ,cụ thể rồi :v