Chủ đề này có 4 trả lời

[happypolla]

Giai phuong trinh$\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2$

[NTA1907]

Giai phuong trinh$\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2$

Điều kiện: $x\geq 1$ hoặc $x\leq -1$

Đặt $\sqrt[4]{x-\sqrt{x^{2}-1}}=a, \sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=b(a,b\geq 0)$

Khi đó ta có hệ sau: $\left\{\begin{matrix} &a+b=2 \\ &a^{4}b^{2}=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &b=2-a \\ &a^{4}(2-a)^{2}=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &b=2-a \\ &(a-1)(a^{2}-a-1)(a^{3}-2a^{2}-1)=0 \end{matrix}\right.$

TH1: $a=1\Rightarrow b=1\Rightarrow x=1$(thoả mãn)

TH2: $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow$ Vô nghiệm

Các trường hợp còn lại $a,b$ không thoả mãn

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$

[An Infinitesimal]

Giai phuong trinh $\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2$

ĐK: $x\ge 1.$

Hai đứa trong ruột không âm và có tích bằng 1. Hơn thế nữa, với điều kiện $x\ge 1$, ta có đứa thứ hai lớn hơn bằng $1$.

Do đó, dùng các kết quả vừa nêu và BĐT Cauchy, ta có

\[\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}} \ge \sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt[4]{x+\sqrt{x^2-1}} \ge 2.\]

PT tương đương dấu bằng của BĐT trên xảy ra $\iff x-\sqrt{x^2-1}=x+\sqrt{x^2-1}=1 \iff x=1.$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 22-08-2016 - 21:38

[Baoriven]

Lời giải cũng khá giống như sau:

 Đặt: $\sqrt[4]{x+\sqrt{x^{2}-1}}=a,(a> 0)$.

Ta có phương trình ban đầu tương đương với:

$\frac{1}{a}+a^2=2$

Ta được: $a=1;\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

[happypolla]

Điều kiện: $x\geq 1$ hoặc $x\leq -1$
Đặt $\sqrt[4]{x-\sqrt{x^{2}-1}}=a, \sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=b(a,b\geq 0)$
Khi đó ta có hệ sau: $\left\{\begin{matrix} &a+b=2 \\ &a^{4}b^{2}=1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &b=2-a \\ &a^{4}(2-a)^{2}=1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &b=2-a \\ &(a-1)(a^{2}-a-1)(a^{3}-2a^{2}-1)=0 \end{matrix}\right.$
TH1: $a=1\Rightarrow b=1\Rightarrow x=1$(thoả mãn)
TH2: $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow$ Vô nghiệm
Các trường hợp còn lại $a,b$ không thoả mãn
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$