Chủ đề này có 5 trả lời

[nuoccam]

Cho a,b,c > 0. CMR:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{abc}{2(a^3+b^3+c^3)} \geq \frac{5}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 26-08-2016 - 19:05

[superpower]

Cho a,b,c > 0. CMR:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{abc}{2(a^3+b^3+c^3)} \geq \frac{5}{3}$

BĐT $<=> \sum \frac{a}{b+c} -\frac{3}{2} + \frac{abc}{2(a^3+b^3+c^3} - \frac{1}{6} \geq 0 $

        $<=> \sum (a-b)^2 . \frac{1}{2(a+c)(b+c)} - \sum (a-b)^2. \frac{a+b+c}{12(a^3+b^3+c^3) } \geq 0 $

        $<=> \sum (a-b)^2 . (\frac{1}{2(a+c)(b+c)} -\frac{a+b+c}{12(a^3+b^3+c^3) } ) \geq 0 $

Giả sử $a \geq b \geq c $

Suy ra đc $S_c \leq S_b \leq S_a $

Do đó, ta cần chứng minh 

$S_b + S_c >0 <=> 3(2a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \geq (a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a) $

Do tính thuần nhất, ta có thể chuẩn hóa $a+b+c =3 $

Và chú ý rằng $2a+b+c \geq a+b+c $

Chuyển $pqr $

Do đó, ta chỉ cần chứng minh $3(p^3-3pq+3r) \geq pq -r $

$<=> r \geq \frac{30q-81}{10} $

Nếu $q \leq \frac{27}{10} $ ta có đpcm 

Nếu $3 \geq q \geq \frac{27}{10} $, áp dúng bdt Schur bậc 3, ta cần chứng minh 

$\frac{12q-27}{9} \geq \frac{30q-81}{10} <=> 150q \leq 459$ đúng

Vậy ta có đpcm 

[nuoccam]

BĐT $<=> \sum \frac{a}{b+c} -\frac{3}{2} + \frac{abc}{2(a^3+b^3+c^3} - \frac{1}{6} \geq 0 $

        $<=> \sum (a-b)^2 . \frac{1}{2(a+c)(b+c)} - \sum (a-b)^2. \frac{a+b+c}{12(a^3+b^3+c^3) } \geq 0 $

        $<=> \sum (a-b)^2 . (\frac{1}{2(a+c)(b+c)} -\frac{a+b+c}{12(a^3+b^3+c^3) } ) \geq 0 $

Giả sử $a \geq b \geq c $

Suy ra đc $S_c \leq S_b \leq S_a $

Do đó, ta cần chứng minh 

$S_b + S_c >0 <=> 3(2a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \geq (a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a) $

Do tính thuần nhất, ta có thể chuẩn hóa $a+b+c =3 $

Và chú ý rằng $2a+b+c \geq a+b+c $

Chuyển $pqr $

Do đó, ta chỉ cần chứng minh $3(p^3-3pq+3r) \geq pq -r $

$<=> r \geq \frac{30q-81}{10} $

Nếu $q \leq \frac{27}{10} $ ta có đpcm 

Nếu $3 \geq q \geq \frac{27}{10} $, áp dúng bdt Schur bậc 3, ta cần chứng minh 

$\frac{12q-27}{9} \geq \frac{30q-81}{10} <=> 150q \leq 459$ đúng

Vậy ta có đpcm 

Anh có thể giúp em viết rõ phần màu xanh này đc ko ạ, em thấy hơi khó hiểu   

2a+b+c > a+b+c vì a,b,c >0, mới cả anh viết hộ em dấu bằng xảy ra khi nào ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 28-08-2016 - 19:34

[superpower]

Anh có thể giúp em viết rõ phần màu xanh này đc ko ạ, em thấy hơi khó hiểu   

2a+b+c > a+b+c vì a,b,c >0, mới cả anh viết hộ em dấu bằng xảy ra khi nào ạ?

 

BĐT $<=> \sum \frac{a}{b+c} -\frac{3}{2} + \frac{abc}{2(a^3+b^3+c^3} - \frac{1}{6} \geq 0 $

        $<=> \sum (a-b)^2 . \frac{1}{2(a+c)(b+c)} - \sum (a-b)^2. \frac{a+b+c}{12(a^3+b^3+c^3) } \geq 0 $

        $<=> \sum (a-b)^2 . (\frac{1}{2(a+c)(b+c)} -\frac{a+b+c}{12(a^3+b^3+c^3) } ) \geq 0 $

Giả sử $a \geq b \geq c $

Suy ra đc $S_c \leq S_b \leq S_a $

Do đó, ta cần chứng minh 

$S_b + S_c >0 <=> 3(2a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \geq (a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a) $

Do tính thuần nhất, ta có thể chuẩn hóa $a+b+c =3 $

Và chú ý rằng $2a+b+c \geq a+b+c $

Chuyển $pqr $

Do đó, ta chỉ cần chứng minh $3(p^3-3pq+3r) \geq pq -r $

$<=> r \geq \frac{30q-81}{10} $

Nếu $q \leq \frac{27}{10} $ ta có đpcm 

Nếu $3 \geq q \geq \frac{27}{10} $, áp dúng bdt Schur bậc 3, ta cần chứng minh 

$\frac{12q-27}{9} \geq \frac{30q-81}{10} <=> 150q \leq 459$ đúng

Vậy ta có đpcm 

Bây giờ, đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Vì bên ngoài các đại lượng $S_a, S_b , S_c $ đã có $(a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2 $ rồi

Mặt khác, theo tiêu chuẩn chứng minh SOS cho $a \geq b \geq c $

Là $S_a(b-c)^2 + S_b(a-c)^2  +S_c( a-b)^2 \geq 0 $

Nếu có $S_b \geq 0 , S_b + S_c \geq 0 , S_b+ S_a \geq 0 $ là ta có dương

Cái trên anh áp dụng luôn

Do có $S_c \leq S_b \leq S_a $

nên chỉ cần chứng minh $S_b + S_c >0 $ thôi

Khi đó anh sẽ thử chứng minh 

$3(2a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \geq (a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a) $

Mà đã có $2a+b+c \geq a+b+c $

Nên chỉ cần chứng minh $3(a^3+b^3+c^3) \geq (a+b)(b+c)(c+a) $ thôi

Mà cái này anh quy về $pqr$ để chứng minh thì thấy nó đúng

[nuoccam]

Bây giờ, đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Vì bên ngoài các đại lượng $S_a, S_b , S_c $ đã có $(a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2 $ rồi

Mặt khác, theo tiêu chuẩn chứng minh SOS cho $a \geq b \geq c $

Là $S_a(b-c)^2 + S_b(a-c)^2  +S_c( a-b)^2 \geq 0 $

Nếu có $S_b \geq 0 , S_b + S_c \geq 0 , S_b+ S_a \geq 0 $ là ta có dương

Cái trên anh áp dụng luôn

Do có $S_c \leq S_b \leq S_a $

nên chỉ cần chứng minh $S_b + S_c >0 $ thôi

Khi đó anh sẽ thử chứng minh 

$3(2a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \geq (a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a) $

Mà đã có $2a+b+c \geq a+b+c $

Nên chỉ cần chứng minh $3(a^3+b^3+c^3) \geq (a+b)(b+c)(c+a) $ thôi

Mà cái này anh quy về $pqr$ để chứng minh thì thấy nó đúng

Ngay từ đầu bài toán em chuẩn hóa luôn a+b+c=3 thì có đc ko a?

[superpower]

Ngay từ đầu bài toán em chuẩn hóa luôn a+b+c=3 thì có đc ko a?

đc em. Những sẽ không quy đc về soS