Jump to content

Photo

Giải pt: $(x+1)\sqrt{x^2+5}+(2x+1)\sqrt{x^2-3}=\dfrac{13x^2}{5}+5x-\dfrac{32}{5}$

- - - - -

  • Please log in to reply
5 replies to this topic

#1
chieckhantiennu

chieckhantiennu

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 621 posts

Giải pt:

Câu 1.

$(x+1)\sqrt{x^2+5}+(2x+1)\sqrt{x^2-3}=\dfrac{13x^2}{5}+5x-\dfrac{32}{5}$

Câu 2.

$\dfrac{3}{\sqrt{x}}+\sqrt[3]{2x^3-10}=x$

Câu 3.

$\dfrac{x+7}{\sqrt{2-x^2}}-(x^2-4)(x+3)+4=6\sqrt[3]{4(x+3)^2}$


Edited by chieckhantiennu, 01-09-2016 - 20:11.

Đỗ Hoài Phương

Một số phận..

Facebook: https://www.facebook.com/phuong.july.969


#2
Namvip

Namvip

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 posts

1) <=>$\left (\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+5}+3}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}-3}+1} \right )(x^{2}-4)=\frac{13}{5}(x^{2}-4)$

Ta sẽ chứng minh bđt phụ sau 

$\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+5}+3}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}-3}+1}> \frac{13}{5}$

Ta có 

$\sqrt{x^{2}-3}\leq \frac{26x}{23}-\frac{21}{23}$

=> $\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+5}+3}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}-3}+1}\geq \frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+5}+3}+\frac{2x+1}{\frac{26x}{23}-\frac{21}{23}+1}$

Lại có 

$\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+5}+3}+\frac{2x+1}{\frac{26x}{23}-\frac{21}{23}+1}-\frac{13}{5}=$$\frac{9(2\sqrt{x^{2}+5}-3x+2)^{2}+13x^{2}-76x+61+17\sqrt{x^{2}+5}}{10(\sqrt{x^{2}+5}+3)(13x+1)}$>0

=> BĐT đã cho được chứng minh 

=> x = -2 hoặc x = 2 



#3
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 posts

Câu 2.

$\dfrac{3}{\sqrt{x}}+\sqrt[3]{2x^3-10}=x$

ĐK: $x>0.$

PT $\iff \dfrac{3}{\sqrt{x^3}}+\sqrt[3]{2-\frac{10}{x^3}}=1.$

Đặt $t=\dfrac{1}{\sqrt{x^3}}, (t>0),$ ta có PT

$$ 3t+\sqrt[3]{2-10t^2}=1.$$

$$\iff {2-10t^2}=(1-3t)^3.$$

$$\iff (t - 1)(27t^2 - 10t - 1)=0.$$

$$ \iff t=1 \vee \frac{5+2 \sqrt{13}}{27}.$$
Do đó $x=1\vee  \frac{7-\sqrt{13}}{2}.$

Edited by vanchanh123, 02-09-2016 - 00:27.

Đời người là một hành trình...


#4
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 posts

1) <=>$\left (\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+5}+3}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}-3}+1} \right )(x^{2}-4)=\frac{13}{5}(x^{2}-4)$

Ta sẽ chứng minh bđt phụ sau 

$\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+5}+3}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}-3}+1}> \frac{13}{5}$

Ta có 

$\sqrt{x^{2}-3}\leq \frac{26x}{23}-\frac{21}{23}$

=> $\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+5}+3}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}-3}+1}\geq \frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+5}+3}+\frac{2x+1}{\frac{26x}{23}-\frac{21}{23}+1}$

Lại có 

$\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+5}+3}+\frac{2x+1}{\frac{26x}{23}-\frac{21}{23}+1}-\frac{13}{5}=$$\frac{9(2\sqrt{x^{2}+5}-3x+2)^{2}+13x^{2}-76x+61+17\sqrt{x^{2}+5}}{10(\sqrt{x^{2}+5}+3)(13x+1)}$>0

=> BĐT đã cho được chứng minh 

=> x = -2 hoặc x = 2 

 

Theo dõi lời giải này, mình thấy phần đánh giá khá cồng kềnh! Hi vọng có một đánh giá "mượt" hơn!

 

Đánh giá sau là một đánh giá sai!

 

$\sqrt{x^{2}-3}\leq \frac{26x}{23}-\frac{21}{23}$

 

Và hiển nhiên BĐT sau sai khi $x$ là số âm đủ "bé"!

$\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+5}+3}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}-3}+1}> \frac{13}{5}$


Đời người là một hành trình...


#5
chieckhantiennu

chieckhantiennu

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 621 posts

Theo dõi lời giải này, mình thấy phần đánh giá khá cồng kềnh! Hi vọng có một đánh giá "mượt" hơn!

 

Đánh giá sau là một đánh giá sai!

 

$\sqrt{x^{2}-3}\leq \frac{26x}{23}-\frac{21}{23}$

 

Và hiển nhiên BĐT sau sai khi $x$ là số âm đủ "bé"!

$\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+5}+3}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}-3}+1}> \frac{13}{5}$

mình thấy đúng rồi mà chuyển về thành: $(x-\frac{26}{7})^2$


Đỗ Hoài Phương

Một số phận..

Facebook: https://www.facebook.com/phuong.july.969


#6
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 posts

mình thấy đúng rồi mà chuyển về thành: $(x-\frac{26}{7})^2$

Điều đó nói lên: bạn chỉ chứng minh được với  $x\ge \frac{21}{26}$, ta có 

$>\sqrt{x^{2}-3}\leq \frac{26x}{23}-\frac{21}{23}.$$

 

Hiển nhiên $x<0$, BĐT sai.


Đời người là một hành trình...





1 user(s) are reading this topic

0 members, 1 guests, 0 anonymous users