Chủ đề này có 4 trả lời

[ILoveMath4864]

cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. chứng minh $n^{4}+4^{n}$ là hợp số

[L Lawliet]

cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. chứng minh $n^4+4^n$ là hợp số

Lời giải.

Đặt $A=n^{4}+4^{n}$.

Vì $n>1$ nên $A>5$.

Nếu $n$ chẵn thì $A$ luôn chia hết cho $2$ nên $A$ là hợp số.

Nếu $n$ lẻ thì theo định lý Fermat nhỏ ta có $n^{4}\equiv 1\pmod {5}$.

Mặt khác $4\equiv -1\pmod {5}\Rightarrow 4^{n}\equiv -1\pmod {5}$ (vì $n$ lẻ).

Do đó $A\equiv 0\pmod {5}$.

Mặt khác $A>5$ nên $A$ là hợp số.

[bangbang1412]

Lời giải.

Đặt $A=n^{4}+4^{n}$.

Vì $n>1$ nên $A>5$.

Nếu $n$ chẵn thì $A$ luôn chia hết cho $2$ nên $A$ là hợp số.

Nếu $n$ lẻ thì theo định lý Fermat nhỏ ta có $n^{4}\equiv 1\pmod {5}$.

Mặt khác $4\equiv -1\pmod {5}\Rightarrow 4^{n}\equiv -1\pmod {5}$ (vì $n$ lẻ).

Do đó $A\equiv 0\pmod {5}$.

Mặt khác $A>5$ nên $A$ là hợp số.

Ô kìa hay nhỉ ?? thế còn $n$ lẻ là bội của $5$ áp dụng Fermat nhỏ được ư ?   wow vậy cũng có hai bạn like . 

Giải thế này nhé bạn : 

Vì $n>1$ nên là nếu $n$ chẵn ok , $n$ lẻ thì $n+1$ chẵn 

$$n^{4}+4^{n}=n^{4}+2.2^{n}.n^{2}+4^{n}-2^{n+1}n^{2}=(n^{2}+2^{n})^{2}-2^{n+1}n^{2} = (n^{2}+2^{n}-2^{\frac{n+1}{2}}n)(n^{2}+2^{n}+2^{\frac{n+1}{2}}n)$$ 

Vì $n+1$ chẵn nên có thể viết như vậy và cho ta đpcm . 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 03-09-2016 - 10:52

[L Lawliet]

Ô kìa hay nhỉ ?? thế còn $n$ lẻ là bội của $5$ áp dụng Fermat nhỏ được ư ?   wow vậy cũng có hai bạn like . Thiết nghĩ kira là học sinh còn L thì là thám tử =)) 

Giải thế này nhé bạn : 

Vì $n>1$ nên là nếu $n$ chẵn ok , $n$ lẻ thì $n+1$ chẵn 

$$n^{4}+4^{n}=n^{4}+2.2^{n}.n^{2}+4^{n}-2^{n+1}n^{2}=(n^{2}+2^{n})^{2}-2^{n+1}n^{2} = (n^{2}+2^{n}-2^{\frac{n+1}{2}}n)(n^{2}+2^{n}+2^{\frac{n+1}{2}}n)$$ 

Vì $n+1$ chẵn nên có thể viết như vậy và cho ta đpcm . 

Ủa, nếu mình sai thì bạn sửa bài hoặc post lời giải chính xác hơn. Thể hiện cái sự cay cú ở đây làm gì thế :-s nào là 2 bạn like, học sinh và thám tử :-s chắc cứ post bài mà có người like cho mình tiếp bạn tức rồi cay cú tiếp mất :-ss mà cảm ơn bạn nhé, từ giờ post bài có người check lời giải của mình cho tiện thật =))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 03-09-2016 - 08:57

[Hai2003]

Vì $n>1$ nên là nếu $n$ chẵn ok , $n$ lẻ thì $n+1$ chẵn 

$$n^{4}+4^{n}=n^{4}+2.2^{n}.n^{2}+4^{n}-2^{n+1}n^{2}=(n^{2}+2^{n})^{2}-2^{n+1}n^{2} = (n^{2}+2^{n}-2^{\frac{n+1}{2}}n)(n^{2}+2^{n}+2^{\frac{n+1}{2}}n)$$ 

Vì $n+1$ chẵn nên có thể viết như vậy và cho ta đpcm . 

Mình nghĩ nên thêm phần chứng minh nhân tử $n^{2}+2^{n}-2^{\frac{n+1}{2}}n$ luôn lớn hơn 1 để cho chặt chẽ dù chứng minh khá đơn giản.

$n^{2}+2^{n}-2^{\frac{n+1}{2}}n=\left(n-2^{\frac{n-1}{2}}\right)^2+2^{n-1}>1$

Vì $n$ lẻ nên $n-1$ chẵn, nên ta có thẻ viết như thế