Chủ đề này có 5 trả lời

[nuoccam]

Cho a,b,c không âm thỏa mãn ab+bc+ca=1.CMR:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} -\frac{1}{a+b+c} \geq 2$

[Pham Quoc Thang]

Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca=1;r=abc$. Khi đó:

$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}-\dfrac{1}{a+b+c}=\dfrac{\sum{(a+b)(b+c)}}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\dfrac{1}{p}=\dfrac{p^2+q}{pq-r}-\dfrac{1}{p}=\dfrac{p^2+1}{p-r}-\dfrac{1}{p}$$
Do đó điều phải chứng minh tương đương với: $$p^2(p-2)+r(2p+1) \geq 0$$
Nếu $p \geq 2$ thì hiển nhiên đpcm là đúng
Nếu $p \leq 2$ thì theo Schur bậc 3 $$r \geq \dfrac{p(4q-p^2)}{9}=\dfrac{p(4-p^2)}{9}$$
Do đó ta cần chứng minh: $$p^2(p-2)+(2p+1).\dfrac{p(4-p^2)}{9} \geq 0 \Leftrightarrow p \leq 2$$
Do đó ta có đpcm

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a,b,c không âm thỏa mãn ab+bc+ca=1.CMR:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} -\frac{1}{a+b+c} \geq 2$

 

Cauchy-Schwarz cho nó lành mạnh.

 

Sử dụng phân tích $$\dfrac{a+b+c}{a+b}=\dfrac{c}{a+b}+1$$ ta có thể viết bất đẳng thức lại dưới dạng $$\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+2 \ge 2(a+b+c).$$ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $$\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} = \frac{(a+b+c)^2}{2}.$$ Vậy, ta cần chứng minh được $$\frac{(a+b+c)^2}{2}+2\ge 2(a+b+c).$$ Hiển nhiên theo bất đẳng thức AM-GM. Bài toán được giải quyết xong.

[nuoccam]

Cauchy-Schwarz cho nó lành mạnh.

 

Sử dụng phân tích $$\dfrac{a+b+c}{a+b}=\dfrac{c}{a+b}+1$$ ta có thể viết bất đẳng thức lại dưới dạng $$\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+2 \ge 2(a+b+c).$$ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $$\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} = \frac{(a+b+c)^2}{2}.$$ Vậy, ta cần chứng minh được $$\frac{(a+b+c)^2}{2}+2\ge 2(a+b+c).$$ Hiển nhiên theo bất đẳng thức AM-GM. Bài toán được giải quyết xong.

Tại sao đoạn Cauchy_Schwwarz lại ra như thế kia vậy a

E nhớ là BĐT Cauchy-schwwarz đâu có như vậy

Với cả dấu bằng của a, em nghĩ có vấn đề, áp dụng C-S ==> a=b=c ==> ko t/m

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 10-09-2016 - 21:07

[superpower]

Tại sao đoạn Cauchy_Schwwarz lại ra như thế kia vậy a

E nhớ là BĐT Cauchy-schwwarz đâu có như vậy

Với cả dấu bằng của a, em nghĩ có vấn đề, áp dụng C-S ==> a=b=c ==> ko t/m

Đó là C-S dạng engel đó bạn

$\sum \frac{c}{a+b} = \sum \frac{c^2}{ca+cb} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} $

Về chỗ dấu bằng

Thì theo bđt C-S thì xảy ra khi các biến tỉ lệ với quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 0

Do đó vẫn đảm bảo dấu bằng tại biên của bài toán

[Nguyenhuyen_AG]

Tại sao đoạn Cauchy_Schwwarz lại ra như thế kia vậy a

E nhớ là BĐT Cauchy-schwwarz đâu có như vậy

Với cả dấu bằng của a, em nghĩ có vấn đề, áp dụng C-S ==> a=b=c ==> ko t/m

 

Cái đánh giá \[\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)},\] của anh có đến hai dấu bằng lận. Khi ba số bằng nhau hoặc hai số bằng nhau một số bằng $0.$