Chủ đề này có 2 trả lời

[phatthemkem]

$1.$ Cho $X,Y$ là hai tập hợp, $f: X \rightarrow Y,g:  Y \rightarrow X$ là hai ánh xạ, giả sử $g \circ f \circ g \circ f$ toàn ánh và $f \circ g \circ f \circ g$ là đơn ánh. Chứng minh $f,g$ là các song ánh.

$2.$ Cho $X$ là tập hợp và $f: X \rightarrow X$ là ánh xạ sao cho $f \circ f \circ f =f$. Chứng minh rằng $f$ là đơn ánh khi và chỉ khi $f$ là toàn ánh.

[9nho10mong]

$1.$ Cho $X,Y$ là hai tập hợp, $f: X \rightarrow Y,g:  Y \rightarrow X$ là hai ánh xạ, giả sử $g \circ f \circ g \circ f$ toàn ánh và $f \circ g \circ f \circ g$ là đơn ánh. Chứng minh $f,g$ là các song ánh.

 

1. Chứng minh $f$ đơn ánh.

 

Lấy $a,b \in X$ thỏa $f(a)=f(b)$. 

 

Từ $ g \circ f \circ g \circ f \ : \ X \to X $ toàn ánh, nên có $c,d \in X$ để

$$ g \circ f \circ g \circ f (c) = a \ \text{và} \ g \circ f \circ g \circ f (d)= b $$

Lúc đó

$$ f \circ g \circ f \circ g \circ f (c) = f(a) = f(b) = f \circ  g \circ f \circ g \circ f (d)$$

Do $ f \circ g \circ f \circ g \ : \ Y \to Y $ đơn ánh nên từ đó suy ra

$$ f(c)=f(d) $$

Khi đó có

$$ a =  g \circ f \circ g \circ f (c) = g \circ f \circ g \circ f (d) = b$$

Do vậy $f$ đơn ánh.

 

2. Chứng minh $g$ đơn ánh.

 

Lấy $a,b \in Y$ thỏa $g(a)=g(b)$.

 

Ta có

$$ f \circ g \circ f \circ g (a) = f \circ g \circ f \circ g (b) $$

Mà  $ f \circ g \circ f \circ g \ : \ Y \to Y $ đơn ánh nên từ đó suy ra

$$a=b$$

Do đó $g$ đơn ánh.

 

3. Chứng minh $f$ toàn ánh.

 

Lấy $y \in Y$, do $g(y) \in X$ và $ g \circ f \circ g \circ f \ : \ X \to X $ toàn ánh nên có $t \in X$ để

$$  g \circ f \circ g \circ f  (t) = g(y) $$

Từ chứng minh ở phần 2. có $g$ đơn ánh, do vậy

$$ f \circ g \circ f (t) = y $$

Như vậy với $y$ bất kỳ thuộc $Y$, có $x= g \circ f (t) \in X$ để

$$ f (x) = y $$

Vậy $f$ toàn ánh. 

 

4. Chứng minh $g$ toàn ánh.

 

Lấy $x \in X$, từ $ g \circ f \circ g \circ f \ : \ X \to X $ toàn ánh, có $t \in X$ thỏa

$$ g \circ f \circ g \circ f (t) = x $$

Như vậy với $x$ bất kỳ thuộc $X$, có $y= f \circ g \circ f(t) \in  X$ để

$$ g(y) = x $$

Vậy $g$ toàn ánh.

 

Từ đó, $f,g$ song ánh. 

[9nho10mong]

$2.$ Cho $X$ là tập hợp và $f: X \rightarrow X$ là ánh xạ sao cho $f \circ f \circ f =f$. Chứng minh rằng $f$ là đơn ánh khi và chỉ khi $f$ là toàn ánh.

 

Ta sẽ chứng minh hai ý sau:

 

1. Giả sử $f$ đơn ánh, ta sẽ chứng minh $f$ toàn ánh.

 

Lấy $x \in X$, có

$$ f \circ f \circ f (x) = f(x) $$

Mà $f$ đơn ánh do đó

$$ f \circ f (x) = x $$

Do đó $f$ toàn ánh.

 

2. Giả sử $f$ toàn ánh, ta sẽ chứng minh $f$ đơn ánh.

 

Lấy $a,b \in X$ thỏa $f(a)= f(b)$.

 

Do $f$ toàn ánh nên có $c,d \in X$ để

$$ f(c) = a \ \text{và} \ f(d)=b $$

Lúc đó

$$ a = f(c) = f \circ f \circ f (c) = f \circ f (a) = f \circ f (b) =f \circ f \circ f (d)= f(d) = b $$

Do đó $f$ đơn ánh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 9nho10mong: 01-01-2017 - 17:04