Chủ đề này có 1 trả lời

[ThachAnh]

Giải hệ :

$\left\{\begin{matrix} x^{3}(4y^{2}+1)+2(x^{2}+1)\sqrt{x}=6\\x^{2}y(2+2\sqrt{4y^{2}+1})=x+\sqrt{x^{2}+1} \end{matrix}\right.$

[L Lawliet]

Giải hệ :

$\left\{\begin{matrix} x^{3}(4y^{2}+1)+2(x^{2}+1)\sqrt{x}=6\\x^{2}y(2+2\sqrt{4y^{2}+1})=x+\sqrt{x^{2}+1} \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq 0$.

Ta thấy $x=0$ không phải là nghiệm của hệ do đó chia hai vế của phương trình thứ hai cho $x^{2}\neq 0$ ta được:

$$2y+2y\sqrt{4y^{2}+1}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\sqrt{\dfrac{1}{x^{2}}+1}$$

Xét hàm $f\left ( t \right )=t+t\sqrt{t^{2}+1}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ do đó phương trình trở thành:

$$f\left ( 2y \right )=f\left ( \dfrac{1}{x} \right )$$

$$\Leftrightarrow 2y=\dfrac{1}{x}$$

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:
$$x^{3}+x+2\left ( x^{2}+1 \right )\sqrt{x}-6=0$$

Xét hàm $f\left ( x \right )=x^{3}+x+2\left ( x^{2}+1 \right )\sqrt{x}-6$ có $f'\left ( x \right )=3x^{2}+1+4x\sqrt{x}+\dfrac{x^{2}+1}{\sqrt{x}}>0, \ \forall x>0$.

Do đó $f\left ( x \right )$ đồng biến trên $\left ( 0;+\infty  \right )$ nên phương trình $f\left ( x \right )=0$ có không quá một nghiệm.

Mặt khác ta thấy $f\left ( 1 \right )=0$ nên $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình, từ đó ta được $y=\dfrac{1}{2}$.

Vậy hệ có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( 1;\dfrac{1}{2} \right )$.

----

Giải phương trình ẩn $x$ bên trên có thể đặt $\sqrt{x}=a>0$ rồi phân tích nhân tử cũng được nhưng xét hàm như trên nhanh hơn bạn có thể thử với phân tích nhân tử xem.