Chủ đề này có 4 trả lời

[le truong son]

1. Cho a,b,c>0 và ab+ac+bc>0 chứng minh: $\sum \sqrt{\frac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}}\geq \sqrt{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le truong son: 13-10-2016 - 23:18

[Ankh]

Đặt \[A=\sqrt{\dfrac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+ca}{c^2+ca+a^2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+ab}{a^2+ab+b^2}},\]

\[B=(a^2+bc)^2(b^2+bc+c^2)(2a+b+c)^3+(b^2+ca)(c^2+ca+a^2)(2b+c+a)^3+(c^2+ab)(a^2+ab+b^2)(2c+a+b)^3\]

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có \[A^2B\geq \left[(a^2+bc)(2a+b+c)+(b^2+ca)(2b+c+a)+(c^2+ab)(2c+a+b)\right]^3\]

Do đó ta chỉ cần chứng minh \[\left[\sum (a^2+bc)(2a+b+c)\right]^3\geq 6\sum (a^2+bc)^2(b^2+bc+c^2)(2a+b+c)^3\]

Khai triển ta thấy bất đẳng thức trên tương đương với \[S_c(a-b)^2+S_b(c-a)^2+S_a(b-c)^2\geq 0\]

Trong đó $S_c=2(a^7+b^7)+9c(a^6+b^6)+7ab(a^5+b^5)+36abc(a^4+b^4)+9a^2b^2(a^3+b^3)+27abc^2(a^3+b^3)+60a^2b^2c(a^2+b^2)+3a^3b^3(a+b)+72a^2b^2c^2(a+b)+72a^3b^3c+6a^2b^2c^3\geq 0$

Tương tự ta cũng có $S_a,S_b\geq 0$, và do đó bất đẳng thức đã cho cần chứng minh đúng.

 Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

[Ankh]

Còn một cách nữa là khai triển bất đẳng thức bậc 6 (cũng khá khó khăn  )

[le truong son]

Đặt \[A=\sqrt{\dfrac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+ca}{c^2+ca+a^2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+ab}{a^2+ab+b^2}},\]

\[B=(a^2+bc)^2(b^2+bc+c^2)(2a+b+c)^3+(b^2+ca)(c^2+ca+a^2)(2b+c+a)^3+(c^2+ab)(a^2+ab+b^2)(2c+a+b)^3\]

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có \[A^2B\geq \left[(a^2+bc)(2a+b+c)+(b^2+ca)(2b+c+a)+(c^2+ab)(2c+a+b)\right]^3\]

Do đó ta chỉ cần chứng minh \[\left[\sum (a^2+bc)(2a+b+c)\right]^3\geq 6\sum (a^2+bc)^2(b^2+bc+c^2)(2a+b+c)^3\]

Khai triển ta thấy bất đẳng thức trên tương đương với \[S_c(a-b)^2+S_b(c-a)^2+S_a(b-c)^2\geq 0\]

Trong đó $S_c=2(a^7+b^7)+9c(a^6+b^6)+7ab(a^5+b^5)+36abc(a^4+b^4)+9a^2b^2(a^3+b^3)+27abc^2(a^3+b^3)+60a^2b^2c(a^2+b^2)+3a^3b^3(a+b)+72a^2b^2c^2(a+b)+72a^3b^3c+6a^2b^2c^3\geq 0$

Tương tự ta cũng có $S_a,S_b\geq 0$, và do đó bất đẳng thức đã cho cần chứng minh đúng.

 Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Lý do nào khiến bn đặt \[B=(a^2+bc)^2(b^2+bc+c^2)(2a+b+c)^3+(b^2+ca)(c^2+ca+a^2)(2b+c+a)^3+(c^2+ab)(a^2+ab+b^2)(2c+a+b)^3\]     

[Ankh]

Lý do nào khiến bn đặt \[B=(a^2+bc)^2(b^2+bc+c^2)(2a+b+c)^3+(b^2+ca)(c^2+ca+a^2)(2b+c+a)^3+(c^2+ab)(a^2+ab+b^2)(2c+a+b)^3\]   

 Biểu thức chạy (tương tương CYH)