Thi chọn đội tuyển THPT Chuyên ĐHSP 2016 ngày 1
#1
Posted 02-11-2016 - 16:20
"Knowledge knows no country but the learner must know the Fatherland".
(Louis Pasteur)
#2
Posted 02-11-2016 - 17:54
Câu hình:
a. Gọi G là giao điểm thứ 2 của DI và (I).
Dễ thấy (D, H, P, A) = -1. Chứng minh DH.DA = DN.DM nên tứ giác AHNM là tứ giác nội tiếp. HG vuông góc với DA nên (D, G, N, M) = -1.
Do (D, H, P, A) = -1, (D, G, N, M) = -1 nên AM. PN, HG đồng quy tại Q. Vậy Q, H, G thẳng hàng nên QH vuông góc với AI.
b. GỌi X là trung điểm của DH, Y là trung điểm của DE. Do (A, P, H, D)=-1, X là trung điểm của HD nên ta có HP.AX = AH. XD.
Từ đó chứng minh tam giác HPE và XDL đồng dạng nên DL // PE.
#3
Posted 02-11-2016 - 19:31
Câu 4b:
Dùng quy nạp để chứng minh $21x_n^2-20$ là số chính phương.
$n=1$ đúng.
Giả sử đúng tới $n=k,k\in \mathbb{N}$. Chứng minh đúng với $n=k+1$.
Ta có: $\frac{x_{n+2}+x_n}{x_{n+1}}=\frac{x_{n+1}+x_{n-1}}{x_n}=5$.
Suy ra: $x_{n+2}.x_n-x_{n+1}^2=x_{n+1}.x_{n-1}-x_n^2=...=x_3.x_1-x_2^2=5$.
Do đó: $x_{n+2}.x_n-x_{n+1}^2=5$.
Thay $x_{n+2}=5x_{n+1}-x_n$.
Ta được: $x_n^2-5x_{n+1}x_n+x_{n+1}^2+5=0$.
Ta có: $\Delta =21x_{n+1}^2-20$.
Do $x_n$ là số tự nhiên nên $21x_{n+1}^2-20$ phải là bình phương của số hữu tỉ.
Mặt khác do công thức truy hồi nên $x_{n+1}$ nguyên.
Do đó $21x_{n+1}^2-20$ là bình phương của một số nguyên
hay $21x_{n+1}^2-20$ là số chính phương với mọi $n$ nguyên dương.
Theo nguyên lí quy nạp ta có ddpcm.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users