Chủ đề này có 2 trả lời

[ThachAnh]

[quantv2006]

Câu hình:

a. Gọi G là giao điểm thứ 2 của DI và (I).

 

Dễ thấy (D, H, P, A) = -1. Chứng minh DH.DA = DN.DM nên tứ giác AHNM là tứ giác nội tiếp. HG vuông góc với DA nên (D, G, N, M) = -1.

 

Do (D, H, P, A) = -1, (D, G, N, M) = -1 nên AM. PN, HG đồng quy tại Q. Vậy Q, H, G thẳng hàng nên QH vuông góc với AI.

 

b. GỌi X là trung điểm của DH, Y là trung điểm của DE. Do (A, P, H, D)=-1, X là trung điểm của HD nên ta có HP.AX = AH. XD.

 

Từ đó chứng minh tam giác HPE và XDL đồng dạng nên DL // PE.

[Baoriven]

Câu 4b:

Dùng quy nạp để chứng minh $21x_n^2-20$ là số chính phương.

$n=1$ đúng.

Giả sử đúng tới $n=k,k\in \mathbb{N}$. Chứng minh đúng với $n=k+1$.

Ta có: $\frac{x_{n+2}+x_n}{x_{n+1}}=\frac{x_{n+1}+x_{n-1}}{x_n}=5$.

Suy ra: $x_{n+2}.x_n-x_{n+1}^2=x_{n+1}.x_{n-1}-x_n^2=...=x_3.x_1-x_2^2=5$.

Do đó: $x_{n+2}.x_n-x_{n+1}^2=5$.

Thay $x_{n+2}=5x_{n+1}-x_n$.

Ta được: $x_n^2-5x_{n+1}x_n+x_{n+1}^2+5=0$.

Ta có: $\Delta =21x_{n+1}^2-20$.

Do $x_n$ là số tự nhiên nên $21x_{n+1}^2-20$ phải là bình phương của số hữu tỉ.

Mặt khác do công thức truy hồi nên $x_{n+1}$ nguyên.

Do đó $21x_{n+1}^2-20$ là bình phương của một số nguyên

hay $21x_{n+1}^2-20$ là số chính phương với mọi $n$ nguyên dương.

Theo nguyên lí quy nạp ta có ddpcm.