Chủ đề này có 2 trả lời

[dunghoiten]

Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O); AC và BD cắt nhau tại P. Gọi I và H tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABP$ và trực tâm $\Delta CDP$. CM: P,I,H thẳng hàng.

Bài 2:Cho $\Delta ABC$ cân tại A. M và N là các điểm di động trên các tia AB,AC sao cho trung điểm I của MN thuộc cạnh BC. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua 1 điểm cố định khác A.

[Kagome]

Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O); AC và BD cắt nhau tại P. Gọi I và H tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABP$ và trực tâm $\Delta CDP$. CM: P,I,H thẳng hàng.

Gọi $K$ là giao điểm của $IP$ với $CD$

$\angle CPK=\angle IPA=90^{\circ}-\frac{\angle AIP}{2}=90^{\circ}-\frac{1}{2}sđAP$ (do đối đỉnh ) 

$\angle PCD=\angle PBA=\frac{1}{2}sđAP$ 

Cộng từng vế được $\angle CPK+\angle PCD = 90^{\circ} \Rightarrow PKC=90^{\circ} \Rightarrow IP$ đi qua trực tâm của $\triangle PCD \Rightarrow đpcm$

[Iceghost]

Bài 2:Cho $\Delta ABC$ cân tại A. M và N là các điểm di động trên các tia AB,AC sao cho trung điểm I của MN thuộc cạnh BC. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua 1 điểm cố định khác A.

Từ $M,N$ hạ $MH,NK \perp BC$

Đường thẳng $\perp AB$ kẻ từ $B$ và đường thẳng $\perp AC$ kẻ từ $C$ cắt nhau tại $G$

 

CM $\triangle{MHI} = \triangle{NKI} \implies MH = NK$

CM $\triangle{BMH} = \triangle{CNK} \implies BM = CN$

CM $\triangle{ABG} = \triangle{ACG} \implies BG = CG$

CM $\triangle{BMG} = \triangle{CNG} \implies \widehat{BMG} = \widehat{CNG}$

$\implies AMGN$ nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp $\triangle{AMN}$ đi qua $G$ là điểm cố định khác $A$